Структура раздела "Теория пределов" в курсе матанализа

[alcoholist]

Nickname1101, можете почитать у Келли про сходимость по Мору-Смиту, там 10 страниц задач, в том числе строится теория интегрирования

[Nickname1101]

demolishka

demolishka в сообщении #1406939 писал(а):

Роль в том, что два других основных понятия ряда и интеграла определяются тоже в терминах последовательностей. Важное понятие секвенциальной компактности также определяется в терминах последовательностей. Да и в целом анализ зачастую изучает сложные объекты, приближая их последовательностью более простых.

demolishka в сообщении #1406987 писал(а):

Видимо и мой ответ не видите/не хотите видеть

Я внимательно читаю все комментарии, включая Ваш. Я прекрасно понимаю аргумент, который Вы привели. Помимо рядов и интегральных сумм, можно отметить те же направленности в топологии, которые являются обобщением понятия последовательности и сказать нечто наподобие "направленности дают критерий хаусдорфовости топологического пространства, видите какая важная штука, вы что, предлагаете не изучать последовательности?". Все эти примеры несомненно замечательны, но мало относятся к сути обсуждаемого вопроса. Если на то пошло, то на понятии функции вообще чуть ли не вся математика строится и в таком ключе риторики скорее понятие функции обладает истинно фундаментальной ролью, а не маленький частный случай последовательностей. Но это я конечно же утрирую. Никакой пример подобного плана по сути аргументом не является. Где бы последовательности ни использовались, что бы мы через них ни определяли, они все равно остаются просто функциями натурального аргумента. Что такое сумма ряда? Предел функции частичных сумм. От замены одного слова другим ничего страшного не произошло. Зачем вводить новый термин (последовательность) для частного случая красивого фундаментального термина (функция) и тем более строить вокруг этого маленького термина большой кусок теории пределов вещественных функций (а затем дублировать его), мне до сих пор непонятно. Я бы еще понял, если бы в этом была исключительно методическая функция. Но в свете моей цитаты

Nickname1101 в сообщении #1406974 писал(а):

Я помню как материал по теме "предел последовательности" лишь затормозил меня в изучении теории пределов. Мне пришлось изучить сначала предел последовательности, затем предел функции (доказывая теоремы для функций с помощью доказанных ранее теорем для последовательностей), затем я понял, что все гораздо легче чем я думал и мне пришлось доказывать теоремы о пределах функций без привлечения последовательностей, затем убеждаться в том, что предел последовательности не является каким-то самостоятельным объектом, и в конце концов убеждаться в том, что теоремы для последовательностей являются лишь частными случаями доказанных теорем для функций. Я потратил огромное количество сил на все это и ради чего?

методические преимущества такого подхода для меня оказались мягко говоря сомнительными.

Меня заинтересовало сообщение Padawan-а.

Padawan в сообщении #1407010 писал(а):

Nickname1101 в сообщении #1406924 писал(а):

Можно ли рассматривать теорию пределов, начиная сразу с произвольных функций вида $f:\mathbb{R}\supset X\to\mathbb{R}$ и рассматривать теоремы о пределе последовательностей как частный случай соответствующих теорем о пределе функции?

Нельзя. Предел в конечной точке и предел на бесконечности - принципиально разные определения. Объединять их в одно определение естественно только на уровне общего определения предела по базе (фильтру). И потом, определение предела функции по Гейне вы хотите вообще выкинуть?

Видимо в этом месте кроется корень моего непонимания вопроса. Почему предел в конченой и в бесконечно удаленной точках - принципиально разные вещи, я не понимаю. В чем проблема определить окрестности бескончено удаленных точек и сформулировать общеизвестное определение предела функции в терминах окрестностей. Конченый случай - лишь 1 из возможных 9, которые прекрасно вписываются в общее определение и по форме и в идейном плане (для произвольно малой окрестности одной точки мы можем указать проколотую окрестность другой точки, образ которой при отображении лежит в выбранной окрестности). Вот мы и объединили все 9 определений предела в одно, причем без фильтров.

По поводу определения Гейне. В моем понимание именно определение Коши передает суть понятия "предел". Иными словами, я для себя понимаю идею предела именно в форме Коши. Гейне же дал скорее отличный критерий. Конечно, это лишь мое субъективное восприятие, я так для себя расставил приоритеты. Для математики неважно, какое из определений принять за основное. Выкидывать определение Гейне совсем не обязательно.

[demolishka]

Nickname1101 в сообщении #1407028 писал(а):

Я прекрасно понимаю аргумент, который Вы привели.

Видимо все же не понимаете (или делаете это нарочно). Интегралы и ряды основываются на понятии последовательности, а не обобщают его. И если необходимо работать с этими объектами, то зачастую придется работать с последовательностями. Более общие, чем последовательность, понятия функции, фильтра или еще чего -- это понятия более высокого уровня, которые могут сократить и структурировать изложение теории в целом, но никак не помогут на практике с вышеуказанными объектами.

То, что можно что-то обобщить, никак не является аргументом для его изучения (скорей это аргумент для изучения этого обобщения). Вы же (в моем видении) хотели получить оправдание изучению столь устаревшего понятия последовательности и ее предела, которое обобщено несколькими разными способами.

Nickname1101 в сообщении #1407028 писал(а):

методические преимущества такого подхода для меня оказались мягко говоря сомнительными.

Вот выучите анализ и напишете свой учебник с учетом собственных замечаний. А вообще складывается впечатление, что Вы дальше "картинок" первых страниц книги так и не ушли. Не работали с этой наукой, не решали ее задач. Учебник настроен именно на обучение этим вещам. А для своих целей (иных) Вы видимо выбрали неправильную книгу.

Nickname1101 в сообщении #1407028 писал(а):

По поводу определения Гейне. В моем понимание именно определение Коши передает суть понятия "предел". Иными словами, я для себя понимаю идею предела именно в форме Коши. Гейне же дал скорее отличный критерий.

Вот можете ли Вы на данном этапе ответить, для чего собственно нужен критерий Гейне? Или хотя бы для чего вообще, на Ваш взгляд, в математике нужны всякие разные критерии?

[beroal]

Nickname1101, бумажные учебники должны иметь большой тираж, следовательно, они рассчитаны на большинство студентов. Если вы не из большинства, считайте, вам не повезло. Могу только предложить искать «свой» учебник. «Доверять» авторам, я считаю, не стоит, потому что они никак от вас не зависят и вы не сможете наказать автора, если он вас обманет. Вы же скачали учебник бесплатно? Тогда автор вам ничего не должен. А если вы имеете рычаг давления на автора, то он будет вынужден отвечать вам серьёзно, а не рассказывать, что вы ничего не понимаете. Авторы даже не обманывают в прямом смысле. Они работают на своих студентов, а не на вас.

У меня сложилось впечатление, что в анализе вообще много дублирования. Вещественные числа → метрические пространства → равномерные пространства → топологические пространства. В каждом своё определение предела. Надо начинать сразу с наиболее общего определения предела, то есть топологического определения.

[Nickname1101]

demolishka
Я чувствую что наш диалог уходит в неконструктивное русло. Чтобы исправить ситуацию, я явно сформулирую свою основную цель. Возможно, это поможет Вам и другим участникам форума лучше понять что я имею в виду. Я повторяю "матанализ". Я его не учу с нуля. Все что я делаю - это "закрываю дыры" в моем понимании этого предмета. Таких "пробелов" откровенно говоря немало. Но они немножко сложнее, чем просто "как найти предел?", "как доказать критерий Коши существования предела функции?" и т.д. Если брать теорию пределов, то мои "пробелы" выглядят примерно так:
1. Можно ли рассматривать теорию пределов, начиная сразу с произвольных функций вида $f:\mathbb{R}\supset X\to\mathbb{R}$ и рассматривать теоремы о пределе последовательностей как частный случай соответствующих теорем о пределе функции? Если нельзя, то почему?
2. Корректно ли общеизвестное определение предела функции в терминах окрестностей конечных/бесконечно удаленных точек?
3. В чем принципиальная разница пределов в конечных и бесконечно удаленных точках в $\mathbb{R}$? (вопрос, возникший после прочтения комментария Padawan-а)
4. Зачем Кудрявцев в своем трехтомнике вводит предел по обычной окрестности, а не по проколотой? Потому что в моем понимании предел характеризует именно поведение функции "вблизи" предельной точки, значение же функции в самой точке никакого интереса представлять не должно. (вопрос оффтопный, привожу исключительно ради примера; его уже обсуждали на этом форуме ранее)
и т.д.
Сами по себе теоремы я доказал, пределы находить умею. До вчерашнего дня считал, что и структура теории пределов мне примерно понятна. Но как выяснилось, все не так очевидно, как мне казалось ранее. Моя цель - разобраться с внутренней логикой теории, выделить ее "зерно", структурировать факты этой теории.
По поводу

demolishka в сообщении #1407046 писал(а):

Вот выучите анализ и напишете свой учебник с учетом собственных замечаний.

мне Вам ответить нечего. Я явно отметил, что

Nickname1101 в сообщении #1406924 писал(а):

я пытаюсь решить этот вопрос исключительно для себя.

Никого учить и тем более кидать палки в огород авторов учебников у меня даже и в мыслях не было. Наоборот, я неявно исходил из предположения, что скорее всего я ошибаюсь.

demolishka в сообщении #1407046 писал(а):

Видимо все же не понимаете (или делаете это нарочно). Интегралы и ряды основываются на понятии последовательности, а не обобщают его. И если необходимо работать с этими объектами, то зачастую придется работать с последовательностями.

И в чем тут проблема? Ну имеем мы набор общих теорем теории пределов для произвольных функций вида $f:\mathbb{R}\supset X\to\mathbb{R}$. Последовательности подчиняются всем этим теоремам.

demolishka в сообщении #1407046 писал(а):

Вот можете ли Вы на данном этапе ответить, для чего собственно нужен критерий Гейне? Или хотя бы для чего вообще, на Ваш взгляд, в математике нужны всякие разные критерии?

Для того же, зачем нужны свойства и признаки. Я не хочу поднимать оффтоп о целях инструментов в математике. В рамках теории пределов критерий Гейне имеет значение больше в вычислительном плане, чем в теоретическом. Но как уже отметил Munin

Munin в сообщении #1406942 писал(а):

На практике всё равно пределы никто не берёт "по определению", кроме патологических примеров. Вместо этого, используют алгебраическую технику, которая несколько ортогональна определению. Так же, как и с производными и с интегралами.

[demolishka]

Nickname1101, Ваш изначальный вопрос касался методики изложения теории пределов в учебниках по анализу, с вопросом об особой роли последовательностей в этой теории. Говоря о методике изложения, нужно установить: 1) что излагать 2) кому излагать 3) зачем излагать 4) как излагать 5) почему так излагать. Изначально Вы привели 1) и 4) и задали вопрос 5). Для ответа на него нужно уточнить 2) и 3). Я привел ответ с соответствующим уточнением. Уважаемый Munin привел ответ (не вопреки моему ответу, а вместе с ним).

Nickname1101 в сообщении #1407063 писал(а):

В рамках теории пределов критерий Гейне имеет значение больше в вычислительном плане, чем в теоретическом.

И что же Вы с помощью Гейне вычисляете? Тут как раз-таки наоборот. Отвечу на часть моего вопроса за Вас. Критерии связывают описание одного свойства на разных языках (в разных терминах). Зачем нужны разные языки? Затем, что в некоторых ситуациях один удобнее другого. Вопрос о полезности/необходимости рассмотрения последовательностей восходит к вопросу о том, как часто в анализе говорят на соответствующем языке и, если часто говорят, то почему (т. е. самостоятельно проверить гипотезу, что наверное он все-таки удобнее). Вы, как человек трепетно изучивший анализ (по Вашим словам), должны с легкость ответить на вопрос о том, где (в доказательстве каких теорем, при решении каких вопросов) встречается использование критерия Гейне, языка последовательностей и т. д. и что будет, если в обсуждении этих вопросов отказаться от этого языка. Если Вы не можете на него ответить, то никакого анализа (даже функции одной действительной переменной) Вы не изучили.

К сожалению, пока Вы больше похожи на тролля , либо просто невежда, который задает вопрос, в котором ни черта не понимает.

[Nickname1101]

demolishka

demolishka в сообщении #1407074 писал(а):

Ваш изначальный вопрос касался методики изложения теории пределов в учебниках по анализу, с вопросом об особой роли последовательностей в этой теории.

Абсолютно верно. Я несколько раз сформулировал свой вопрос. Читайте последние строчки моего первого сообщения.

Nickname1101 в сообщении #1407063 писал(а):

Все что я делаю - это "закрываю дыры" в моем понимании этого предмета. Таких "пробелов" откровенно говоря немало.

demolishka в сообщении #1407074 писал(а):

Вы, как человек трепетно изучивший анализ (по Вашим словам)...

(Оффтоп)

Буду считать это неудачным сарказмом.

demolishka в сообщении #1407074 писал(а):

...должны с легкость ответить на вопрос о том, где (в доказательстве каких теорем, при решении каких вопросов) встречается использование критерия Гейне, языка последовательностей и т. д. и что будет, если в обсуждении этих вопросов отказаться от этого языка. Если Вы не можете на него ответить, то никакого анализа (даже функции одной действительной переменной) Вы не изучили.

А Вы еще меня троллем называете... Как вы понять-то не можете, я не имею ничего против последовательностей и теорем, связанных с ними, включая критерий Гейне. Я просто предлагаю доказывать эти теоремы после теорем о пределе функции, сводить их как частные случаи к теоремам о пределах функций вида $f:\mathbb{R}\supset X\to\mathbb{R}$.

demolishka в сообщении #1407074 писал(а):

К сожалению, пока Вы больше похожи на тролля , либо просто невежда, который задает вопрос, в котором ни черта не понимает.

Я предлагаю закончить обсуждение этой темы, мне не очень понятно почему Вы так бурно реагируете. Возможно я и впрямь задал глупый вопрос и совсем не разбираюсь в теории предела, но во всяком случае, будь я на месте компетентного человека, я бы не позволил себе общаться с новичком, задающим вопрос, в таком тоне.
Буду рад услышать содержательные комментарии от других участников форума.

[demolishka]

Nickname1101 в сообщении #1407084 писал(а):

Я просто предлагаю доказывать эти теоремы после теорем о пределе функции, сводить их как частные случаи к теоремам о пределах функций вида $f:\mathbb{R}\supset X\to\mathbb{R}$.

Вам уже сказали, что можно и так. Можно также начинать с топологических пространств, можно с метрических, можно рассматривать фильтры или чего еще и более того, так иногда делают. Разумно так делать или нет зависит от контекста, который тут пытались обсуждать.

Nickname1101 в сообщении #1407084 писал(а):

А Вы еще меня троллем называете... Как вы понять-то не можете, я не имею ничего против последовательностей и теорем, связанных с ними, включая критерий Гейне. Я просто предлагаю доказывать эти теоремы после теорем о пределе функции, сводить их как частные случаи к теоремам о пределах функций вида $f:\mathbb{R}\supset X\to\mathbb{R}$.

А тролль Вы потому, что перемешиваете свои два вопроса. Все мои комментарии в основном посвящены "фундаментальной роли последовательностей в анализе". При попытке объяснить эту роль Вы талдычите "аргумент не аргумент, вот если рассматривать функции, то будет прекрасно", но это другой вопрос, на который я ответил Вам с самого начала. А дальше опять продолжаете, не замечая ответов:

Nickname1101 в сообщении #1407028 писал(а):

Зачем вводить новый термин (последовательность) для частного случая красивого фундаментального термина (функция) и тем более строить вокруг этого маленького термина большой кусок теории пределов вещественных функций (а затем дублировать его), мне до сих пор непонятно.

[Pavia]

Nickname1101

Nickname1101 в сообщении #1406974 писал(а):

Я беру слово "матанализ" в кавычки, потому что из чего он состоит, где начинается и заканчивается, (лично мне) не очень понятно.

Nickname1101 в сообщении #1406974 писал(а):

Я "жонглировал" всего лишь двумя объектами - функция и предел. У меня не было каши в голове из-за теорем, дублирующих друг друга.

А в чём проблема прочитать, что такое матанализ? Матанализ это всесторонне изучение предметной области. Второе определение это последовательное изложение материала.
Соответственно обо из них Вы нарушаете.
Большинство методов доказательств основаны на сведение к предыдущим знаниям. Поэтому тут во первых идёт повторение материала, а во-вторых дополнительный стимул читателю выявить отличия. Что так же дополнительно стимулирует к изучению.

ДА согласен есть избыточность. Но пока что лучшего не видел.

Nickname1101 в сообщении #1406924 писал(а):

когда я изучал теорию пределов, меня сопровождало непонимание того, почему структура именно такая. Зачем выделять последовательности отдельно? Почему бы не рассказывать сразу про предел произвольной функции вида $f:\mathbb{R}\supset X\to\mathbb{R}$? Последовательности просто сведутся к этому случаю. В конце концов, у себя в голове я выстроил совершенно другую структуру теории пределов, нежели в учебнике. В центре - предел произвольной функции и его свойства, а все что касается предела последовательности (включая определение в терминах "начиная с номера $N$...") лишь частный случай предела функции (ведь последовательность - просто обычная функция натурального аргумента). Таким образом, нет необходимости доказывать теоремы для последовательностей, достаточно лишь доказать теоремы для произвольных функций.

Дайте определение функции без последовательностей.
Дайте определение придела функции без последовательностей.

[Anton_Peplov]

Pavia в сообщении #1407090 писал(а):

Дайте определение функции без последовательностей.
Дайте определение придела функции без последовательностей.

Вы это серьёзно сейчас?

Детское определение функции (для физиков-первокурсников из Ильина и Позняка). Функция - это правило, по которому одному числу ставится в однозначное соответствие другое число.
Строгое определение функции. Функция - это упорядоченная тройка множеств $\langle X, Y, \Gamma \rangle$, где $\Gamma \subset X \times Y$ отвечает следующему условию: для всякого $x \in X$ найдётся ровно один $y \in Y$ такой, что $(x, y) \in \Gamma$.

В каком месте вы тут последовательности наблюдаете?

Определение предела без последовательностей - это просто определение предела по Коши. Опять-таки, где последовательности?

Не говоря уже о приделах. Придел - это часть православного храма. Я бы посмотрел на его определение через последовательности.

[wrest]

Числовая последовательность просто-напросто является частным случаем числовой функции, потому что последовательность описывает соответствие (отображение) между множеством натуральных чисел и каким-нибудь еще множеством (каких-то чисел). Тут (в теме) кажись наблюдается терминологический клинч из-за лчень широкого значения термина "функция".

Nickname1101 в сообщении #1407063 писал(а):

3. В чем принципиальная разница пределов в конечных и бесконечно удаленных точках в $\mathbb{R}$? (вопрос, возникший после прочтения комментария Padawan-а)

Мне кажется, что разница в том, что бесконечности не являются числами, а бесконечно ужаленных точек не существует.

[Nickname1101]

demolishka

demolishka в сообщении #1407088 писал(а):

Вам уже сказали, что можно и так.

Единственный прямой ответ на поставленный мною вопрос был как раз таки отрицательным.

Padawan в сообщении #1407010 писал(а):

Nickname1101 в сообщении #1406924 писал(а):

Можно ли рассматривать теорию пределов, начиная сразу с произвольных функций вида $f:\mathbb{R}\supset X\to\mathbb{R}$ и рассматривать теоремы о пределе последовательностей как частный случай соответствующих теорем о пределе функции?

Нельзя. Предел в конечной точке и предел на бесконечности - принципиально разные определения. Объединять их в одно определение естественно только на уровне общего определения предела по базе (фильтру). И потом, определение предела функции по Гейне вы хотите вообще выкинуть?

Учитывая комментарий товарища Padawan-а у меня возникло еще несколько вопросов, которые я озвучил в своем вышестоящем комментарии.
С Вами, demolishka, видимо произошло недопонимание. Я не спорю, что последовательности могут оказаться очень полезными (например, при вычислении предела функции, о чем я уже говорил, но Вы со мной спорили про вычислительный аспект критерия Гейне). Но посмотрите пожалуйста еще раз в название темы. Основную цель я несколько раз указывал в разных сообщениях (посмотрите хотя бы на цитату, к которой отвечал Padawan - это и есть центральный вопрос топика). Как обычно и бывает, один о теплом, другой о мягком. В целом, про важность последовательностей я с Вами согласен.

-- 26.07.2019, 01:31 --

wrest

wrest в сообщении #1407096 писал(а):

Nickname1101 в сообщении #1407063 писал(а):

3. В чем принципиальная разница пределов в конечных и бесконечно удаленных точках в $\mathbb{R}$? (вопрос, возникший после прочтения комментария Padawan-а)

Мне кажется, что разница в том, что бесконечности не являются числами, а бесконечно ужаленных точек не существует.

Да, конечно же, говоря о бесконечно удаленных точках я имел в виду не $\mathbb{R}$, а $\mathbb{\overline{R}}$. Мой вопрос касается того, что идея предела, на мой взгляд, одинаково применима как к конечным точкам, так и к бесконечно удаленным точкам с соответствующим знаком. Я уже об этом писал:

Nickname1101 в сообщении #1407028 писал(а):

Видимо в этом месте кроется корень моего непонимания вопроса. Почему предел в конченой и в бесконечно удаленной точках - принципиально разные вещи, я не понимаю. В чем проблема определить окрестности бескончено удаленных точек и сформулировать общеизвестное определение предела функции в терминах окрестностей. Конченый случай - лишь 1 из возможных 9, которые прекрасно вписываются в общее определение и по форме и в идейном плане (для произвольно малой окрестности одной точки мы можем указать проколотую окрестность другой точки, образ которой при отображении лежит в выбранной окрестности). Вот мы и объединили все 9 определений предела в одно, причем без фильтров.

[vpb]

Сейчас посмотрел первую главу Фихтенгольца "Теория пределов", о пределе последовательности. Потом вторую "Функции одной переменной". Там про пределы функции не так уж много написано, т.е. кое-что написано, но при этом (а) гораздо меньше, по объему, чем про пределы последовательностей, и (б) примерно в том духе, что всё основное про пределы уже рассказано в первой главе, так что особо повторяться не будем. Никакого копирования-дублирования нет. Обобщение есть, но без бессмысленной растраты времени на дублирование. (И основное содержание той главы про функции --- не в развитии заново теории пределов, чего там и не делается, а в применении концепции предела к исследованию функций). То есть я вообще не понимаю, чем ТС недоволен.

-- 26.07.2019, 02:29 --

Nickname1101 в сообщении #1406924 писал(а):

Зачем выделять последовательности отдельно? Почему бы не рассказывать сразу про предел произвольной функции вида $f:\mathbb{R}\supset X\to\mathbb{R}$? Последовательности просто сведутся к этому случаю.

Нет, не сведутся. Всё сведется к тому, что читатель впадет в ступор, потому что ему предлагают переварить сразу слишком много, и не поймет вообще ничего.

-- 26.07.2019, 02:33 --

Nickname1101 в сообщении #1406924 писал(а):

В конце концов, у себя в голове я выстроил совершенно другую структуру теории пределов, нежели в учебнике.

Возможно, Вы у себя в голове просто переоткрыли понятие предела по фильтру (базе). Ну и на здоровье. Не будем препятствовать другим людям делать аналогичное переоткрытие. На основе того, что они уже, перед тем, будут иметь у себя в голове понятия, что такое предел последовательности, предел функции в точке, односторонний предел, и т.д.

[beroal]

vpb в сообщении #1407118 писал(а):

Сейчас посмотрел первую главу Фихтенгольца "Теория пределов", о пределе последовательности. Потом вторую "Функции одной переменной". Там про пределы функции не так уж много написано, т.е. кое-что написано, но при этом (а) гораздо меньше, по объему, чем про пределы последовательностей, и (б) примерно в том духе, что всё основное про пределы уже рассказано в первой главе, так что особо повторяться не будем.

Вот фразы в духе (б) лично мне очень неприятно встречать в учебниках. Такая фраза фактически говорит о том, что автор не сэкономил математический текст, а просто поленился написать дублирующий текст, предлагая написать его читателю. То есть просто свалил дублирующую работу на читателя.

vpb в сообщении #1407118 писал(а):

Nickname1101 в сообщении #1406924

wrote:
В конце концов, у себя в голове я выстроил совершенно другую структуру теории пределов, нежели в учебнике.
Возможно, Вы у себя в голове просто переоткрыли понятие предела по фильтру (базе). Ну и на здоровье. Не будем препятствовать другим людям делать аналогичное переоткрытие.

Учебники существуют именно для того, чтобы не переоткрывать математику. Переоткрытие займёт столько же времени, сколько развивалась математика. А люди столько не живут.

vpb в сообщении #1407118 писал(а):

Нет, не сведутся. Всё сведется к тому, что читатель впадет в ступор, потому что ему предлагают переварить сразу слишком много, и не поймет вообще ничего.

Это разумное возражение. Трудно начинать с абстракций, и абстракции могут потребовать некоторых усложнений. В таком случае, я думаю, сначала можно немного развить более конкретную теорию, но именно немного.

[Pavia]

Anton_Peplov
Вообще-то я бы хотел что бы на это ответил Nickname1101. То что оно в водится через множества это мне и так известно. Хотелось посмотреть на сколько выразительно у автора темы получится дать такое определения. Когда меня учили в своё время теория определений через множества была абсолютно не понятно всей группе. Поэтому потом и перечитывали через последовательности.