Как найти предел последовательности функций?

[NRX]

Дана последовательность функций $f_{n}(x) = \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{nx}{(2n)^2+(kx)^2}$. Требуется найти предел последовательности функций
$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}^{$f_{n}(x)}$
Я делаю следующим образом:
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{f_{n}(x)}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{nx}{(2n)^2+(kx)^2}}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{nx}{(2n)^2+(kx)^2}}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{x/n}{4+(kx)^2/n^2}}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}0=0$

Если я не правильно делаю, то как данная задача решается?

[nnosipov]

NRX в сообщении #1405092 писал(а):

Если я не правильно делаю, то как данная задача решается?

Да, Вы делаете неправильно. Попробуйте интерпретировать $f_n(x)$ как риманову сумму для некоторого интеграла. Интегралы проходили?

[NRX]

nnosipov в сообщении #1405093 писал(а):

Попробуйте интерпретировать $f_n(x)$ как риманову сумму для некоторого интеграла.

Определение интеграла по Риману: $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx = \lim\limits_{\max(\Delta x_i) \rightarrow 0}$\sum\limits_{i=0}^{n}\Delta x_i f(\xi_i)$

Я попытался получить похожую форму на сумму Римана, но мне кажется это нелепым:
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{nx}{(2n)^2+(kx)^2}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{n}\frac{x}{4+(kx)^2 /n^2}}$ Введем замену: $t=1/n, n \rightarrow \infty \Rightarrow t\rightarrow 0$
$\lim\limits_{t\rightarrow 0}{\sum\limits_{k=0}^{1/t}t\frac{x}{4+t^2k^2x^2}}=\lim\limits_{t\rightarrow 0}{\sum\limits_{k=0}^{1/t}t\frac{x}{4+g(k)x^2}}=\lim\limits_{t\rightarrow 0}{\sum\limits_{k=0}^{1/t}tf(g(k), x)=$\int\limits_{}^{}f(g(k), x)dk $

[Otta]

NRX
Не надо замену. Какое разбиение, какого отрезка - и все станет на свои места.

[NRX]

Разобьем отрезок $[a, b]$ равномерно. Тогда интегральная сумма Римана:
$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}$\sum\limits_{i=0}^{n}\Delta x f(\xi_i), \xi_i \in [a, b],\xi_0 < \xi_1 < ... < \xi_n $

Рассмотрим сумму из задачи: {\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{nx}{(2n)^2+(kx)^2}}$
Требуется привести аналогию с интегральной суммой. В данном выражении под $\xi_i$ можно принять $kx$, так как оно подходит под накладываемые условия (увеличивает свое значения при переходе от одного члена суммы к следующему). Таким образом $\xi_0 = 0, \xi_n = nx$, следовательно $a = 0, b = nx \Rightarrow \Delta x = \frac{b-a}{n}= \frac{nx}{n} = x$
Тогда интегральная сумма принимает вид:
{\sum\limits_{k=0}^{n}x\frac{n}{(2n)^2+(kx)^2}}={\sum\limits_{k=0}^{n}\Delta x\frac{n}{(2n)^2+(\xi_k)^2}} \to \int\limits_{0}^{nx}\frac{n}{(2n)^2+(z)^2}}dz=\frac{1}{4}\arctg\frac{z}{2n}|^{nx}_{0}=\frac{1}{4}\arctg\frac{x}{n}$

[Otta]

NRX в сообщении #1405110 писал(а):

$\xi_0 = 0, \xi_n = nx$

И чем больше $n$, тем длиннее отрезок? Так не бывает. Давайте еще раз. Диаметр разбиения тоже не может быть фиксированным.

[NRX]

Otta в сообщении #1405112 писал(а):

NRX в сообщении #1405110 писал(а):

$\xi_0 = 0, \xi_n = nx$

И чем больше $n$, тем длиннее отрезок?

Действительно, ерунда получается .

$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{nx}{(2n)^2+(kx)^2}=$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{x}{n}\frac{1}{4 +(\frac{k}{n}x)^2}$
Обозначим: $\xi_i=\frac{i}{n}x; \xi_0=0; \xi_n=x; \Delta x=\frac{\xi_n-\xi_0}{n} = \frac{x}{n}$
Тогда получим:
$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{x}{n}\frac{1}{4 +(\frac{k}{n}x)^2}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sum\limits_{i=0}^{n}\Delta x\frac{1}{4 +(\xi_i)^2}=/n \rightarrow \infty \Rightarrow \Delta x \rightarrow 0 / = \int\limits_{0}^{x}\frac{dz}{4 +z^2} = \frac{1}{2}\arctg(\frac{z}{2})|^{x}_{0}=\frac{1}{2}\arctg(\frac{x}{2})$

[Otta]

Да, так хорошо.