Вокруг темы «Доказательство Уайлса»

[grisania]

Док-во Уайлса - док-во несуществования некоторой эллиптической кривой (кривой Фрея).
Есть ли док-во несуществования чего-либо для других задач сведением к несуществованию некоторой эллиптической кривой?

[kotenok gav]

grisania в сообщении #1359783 писал(а):

док-во несуществования некоторой эллиптической кривой

Нет. Вейль доказал, что если ВТФ неверна, то для кривой Фрея не выполняется одно свойство. Уайлс доказал, что для всех эл. кривых одного типа (куда входит и кривая Фрея) выполняется это свойство. Года через 2 доказали, что это свойство выполняется для вообще всех эл. кривых (это утвердение называлось гипотезой Таниямы-Шимуры-Вейля).

[grisania]

kotenok gav в сообщении #1359818 писал(а):

grisania в сообщении #1359783 писал(а):

док-во несуществования некоторой эллиптической кривой

Нет. Вейль доказал, что если ВТФ неверна, то для кривой Фрея не выполняется одно свойство. Уайлс доказал, что для всех эл. кривых одного типа (куда входит и кривая Фрея) выполняется это свойство. Года через 2 доказали, что это свойство выполняется для вообще всех эл. кривых (это утвердение называлось гипотезой Таниямы-Шимуры-Вейля).

Доказательство несуществования некоторой эллиптической кривой - это док-во взаимно исключающих утверждений:
1. эллиптическая кривая вида $ y^3 = x(x - A)(x + B) $, где $A, B$ - взаимно простые числа является модулярной.
2. Кривая Фрея не является модулярной.

Кривая Фрея
$ y^3 = x(x - a^p)(x + b^p) $,
где $ a^p + b^p = c^p$, а $a, b, c $ - натуральные попарно взаимно простые числа, $p>3$ - простой показатель. Факт, что кривая Фрея не является модулярной, доказал Рибет.

Уайлс доказал, что кривые вида
$ y^3 = x(x - A)(x + B) $, где $A, B$ - взаимно простые числа являются модулярными.
Поэтому, если $ A = a^p, B = b^p$, то такая эллиптическая кривая модулярна.

Следовательно, эллиптической кривая Фрея не существует, она - фантом, призрак. Ее существование обусловлено только тем, что уравнение Ферма имеет решение.

Подробности см. в книге (стр. 385-393:
Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей(М.: МИР)http://www.vixri.com/d/Ribenbojm%20P.%20_Poslednjaja%20teorema%20Ferma.pdf
Там же: "Некоторые математики не удовлетворены методом доказательства, использующим эллиптические кривые и модулярные формы, которые рассматриваются (вероятно, несправедливо? или
справедливо?) как чуждые этой проблеме."

[binki]

grisania в сообщении #1359861 писал(а):

Доказательство несуществования некоторой эллиптической кривой - это док-во взаимно исключающих утверждений

Уважаемый grisania!
Вопрос хороший. Хотелось бы увидеть разъяснения.
Аналогично ли это такому утверждению. Не существующая моя жена блондинка. Значит она точно не брюнетка. Выходит, что моя настоящая жена блондинка?

[podih]

binki
Моей женой может быть только двухметровая блондинка с шестым размером. Доказано, что таких женщин не существует. Значит я неженат.

[binki]

podih
Жизненно ли такое докво?
Утверждение. Среди женщин нет инопланетянок.
Докво. Если бы существовали инопланетянки, то они образовали бы класс женщин с особой характеристикой (не модулярные и не эллиптичные). Но земные женщины не имеют такого особого свойства (они - эллиптично модулярные). Следовательно, инопланетянок не существует.

[podih]

binki
Вы сначала включаете инопланетянок в множество земных женщин. А в конце расширяете множество инопланетянок до всей Вселенной.
Аккуратнее надо быть и не увлекаться софизмами.

[binki]

podih в сообщении #1406480 писал(а):

Вы сначала включаете инопланетянок в множество земных женщин. А в конце расширяете множество инопланетянок до всей Вселенной.

podih
Не расширяю. Инопланетянка - с иной планеты на земле.

podih в сообщении #1406480 писал(а):

не увлекаться софизмами.

Часть математиков обвиняют в софизме Рибета в докве не модулярности кривой Фрея. Фрей утверждал, что его кривая слишком причудлива, чтобы быть модулярной. Причудливость не существующей кривой, навязана доквом от противного, предположением существованием решения уравнения Ферма (УФ) в целых числах.
Докво проводится с применением мат аппарата, который не существовал во времена Ферма. Так причудливость кривой хоронит чудесность доква Ферма.
Примером с инопланетянками создавался аналог множеству иррациональных решений (земные женщины) и предполагаемые решения УФ в целых числах (инопланетянки).

[podih]

binki

Нас Аэлиты не возбуждают,
Женщин земных вполне нам хватает.
В платье залезешь, - а там всё непросто.
Жгутики, клювы и грудь не по росту.

[binki]

grisania в сообщении #1359861 писал(а):

Кривая Фрея
$ y^3 = x(x - a^p)(x + b^p) $,
где $ a^p + b^p = c^p$, а $a, b, c $ - натуральные попарно взаимно простые числа, $p>3$ - простой показатель. Факт, что кривая Фрея не является модулярной, доказал Рибет.

Уайлс доказал, что кривые вида
$ y^3 = x(x - A)(x + B) $, где $A, B$ - взаимно простые числа являются модулярными.
Поэтому, если $ A = a^p, B = b^p$, то такая эллиптическая кривая модулярна.

Следовательно, эллиптической кривая Фрея не существует, она - фантом, призрак. Ее существование обусловлено только тем, что уравнение Ферма имеет решение.

Вопрос простой. Предположим, что решение уравнения Ферма существует $ a^p + b^p = c^p$. Но кривая Фрея

$$ y^3 = x(x - a^p)(x + b^p) $$

не модулярна, поэтому предположение не верно и решения уравнения Ферма не существует. Тогда, эта же сумма $ a^p + b^p = C$, где $(a^p, b^p,C)$ - натуральные, взаимно простые числа. И кривая Фрея будет точно такая же, с теми же числами, но исчезает её причудливость, и она становится модулярной

$$ y^3 = x(x - a^p)(x + b^p) $$

как разъяснить эту ситуацию?

[Sender]

binki в сообщении #1415092 писал(а):

Тогда, эта же сумма $ a^p + b^p = C$, где $(a^p, b^p,C)$ - натуральные, взаимно простые числа. И кривая Фрея будет точно такая же

Особо не вдавался, но из процитированного вами следует, что это уже не кривая Фрея.

[binki]

Sender в сообщении #1415098 писал(а):

Особо не вдавался, но из процитированного вами следует, что это уже не кривая Фрея.

Подробнее. Если отсутствует решение уравнения ферма, то можно записать для тех же чисел $(a^p, b^p)$ равенство $a^p+ b^p=C$, где $(a^p, b^p,C)$ -натуральные, взаимно простые числа. И получаем уже модулярную ту же самую, с теми же числами кривую (пусть она теряет название кривой Фрея), ни чем не отличающуюся от кривой Фрея, созданной на предположении существования решения уравнения Ферма.

[Sender]

Нельзя сказать, что ту же самую. Вы ослабили определение кривой Фрея, выкинув оттуда условие $a^p+b^p=c^p$. Естественно ожидать, что это ослабленное определение задаёт более широкий класс кривых, нежели чем кривые Фрея.