Решение типа бегущей волны

[amandra]

Решение типа бегущей волны [Полянин, Журова. Методы решения нелинейных уравнения мат физики] применяется для перехода от уравнения в частных производных к обыкновенному диф уравнения
Замена
$z=k \cdot x - \lambda \cdot t$

При решении уравнения от z нужно осуществить обратный переход к (x,t), но у меня, почему-то, остаются k и $ \lambda $.
Ошибка?

[Someone]

А где здесь дифференциальное уравнение?

P.S. Не все формулы оформлены как полагается (три штуки). А знак умножения обычно не пишется.

[amandra]

$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{\partial C_1 (x,t)}{\partial t} + V\frac{\partial C_1 (x,t)}{\partial x} &=& -kC_1 (x,t)C_2 (x,t)\\ \frac{\partial C_2 (x,t)}{\partial t} + V\frac{\partial C_2 (x,t)}{\partial x} &=& -kC_1 (x,t)C_2 (x,t)\\ \end{array} \right.$

Начальные и граничные условия
$ C_1(x,0)=C_{10}$
$ C_2(x,0)=C_{20}$
$ C_1(0,t)=C_{11}$
$ C_2(0,t)=C_{21}$

Делаем замену
$ z =qx-\lambda t $

Тогда
$ \frac{\partial C_1 (x,t)}{\partial t} = -\lambda \frac{d C_1 (z)}{d z} $
$ \frac{\partial C_1 (x,t)}{\partial x} = q \frac{d C_1 (z)}{d z} $

после этого систему можно переписать
$\left\{ \begin{array}{rcl} -\lambda\frac{d C_1 (z)}{ dz} + qV\frac{d C_1 (z)}{dz} &=& -kC_1 (z)C_2 (z)\\ -\lambda\frac{d C_2 (z)}{ dz} + qV\frac{d C_2 (z)}{dz} &=& -kC_1 (z)C_2 (z)\\ \end{array} \right.$

упростим
$\left\{ \begin{array}{rcl} (qV-\lambda)\frac{d C_1 (z)}{dz} &=& -kC_1 (z)C_2 (z)\\ (qV-\lambda)\frac{d C_2 (z)}{dz} &=& -kC_1 (z)C_2 (z)\\ \end{array} \right.$

Вычтем второе уравнение из первого
$\frac{d C_1 (z)}{dz} - \frac{d C_2 (z)}{dz}=0$
что дальше с этим можно сделать? как использовать НУи ГУ?

[mihiv]

amandra в сообщении #1165240 писал(а):

Начальные и граничные условия
$ C_1(x,0)=C_{10}$
$ C_2(x,0)=C_{20}$
$ C_1(0,t)=C_{11}$
$ C_2(0,t)=C_{21}$

$C_{ij}$ в начальных и граничных условиях должны быть функциями $t$ или $x$, так как иначе одна из функций $C_1(z)$ и $C_2(z)$ тождественно равна 0. а другая постоянной.

[пианист]

amandra
У Вас получилась система ОДУ, какие претензии.
Во-вторых, откуда следует, что среди бегущих волн найдется подходящая под Вашу задачу? Если в бегущую волну подставить $t=0$, функция от $x-at$ жестко определится, без всякого диффура.
Ну и, в третьих, у Вас система с одинаковой главной частью, она и без всяких извращений сводится к ОДУ.

[amandra]

Настало лето, скучно..вспомнил старую задачу, не удивительно, но снова зашел в тупик))

Изначально начальные и граничные условия были такими
$ C_1(x,0)=C_{10}$
$ C_2(x,0)=C_{20}$
$ C_1(0,t)=C_{11}$
$ C_2(0,t)=C_{21}$

НО, теперь нужны НУ и ГУ в таком виде
$ C_1(x,0)=0$
$ C_2(x,0)=0$
$ C_1(0,t)=g_{1}(t)$
$ C_2(0,t)=g_{2}(t)$

и вот здесь я не пойму как учесть ГУ и НУ после перехода к z
$C_1(z)\right\rvert_{z=0}=?
$C_2(z)_{z=0}=?$

[пианист]

amandra
Так Вы все-таки почитайте про системы уравнений с одинаковой главной частью, как устроены их решения.
Если что, есть в книжечке Курант, Гильберт, 2 том.

[amandra]

пианист в сообщении #1406237 писал(а):

amandra
Так Вы все-таки почитайте про системы уравнений с одинаковой главной частью, как устроены их решения.
Если что, есть в книжечке Курант, Гильберт, 2 том.

спасибо большое
загвоздка не в решении, а в том как записать C(0) зная С(0,t) и C(x,0)

[пианист]

amandra в сообщении #1406211 писал(а):

$ C_1(0,t)=g_{1}(t)$
$ C_2(0,t)=g_{2}(t)$

Подставьте в эти Ваши условия тот вид, в котором Вы ищете решение, т.е. $C_i = f_i(qx-\lambda t)$, и хотя бы на пару минут задумайтесь.

[amandra]

пианист в сообщении #1406379 писал(а):

Подставьте в эти Ваши условия тот вид, в котором Вы ищете решение, т.е. $C_i = f_i(qx-\lambda t)$, и хотя бы на пару минут задумайтесь.

к сожалению, я не понимаю...
из ГУ и НУ следует
(1) $C_i(x,t)_{t=0}=0$ или $C_i(qx-\lambda t)_{t=0}=C_i(qx)=0$
(2) $C_i(x,t)_{x=0}=g_i(t)$ или $C_i(qx-\lambda t)_{x=0}=C_i(-\lambda t)=g_i(t)$

я не понимаю, как используя (1) и (2) найти $C_i(z)_{z=0}$

[пианист]

amandra в сообщении #1407442 писал(а):

я не понимаю, как используя (1) и (2) найти $C_i(z)_{z=0}$

$C_i(z)_{z=0} = 0 = g_i(0)$