Простите, возможно, за глупый вопрос о сходимости ряда Фурье

[LazyFool1]

Для интегрируемой во второй степени функции её ряд Фурье сходится к ней в среднеквадратичном. В то же время существует теорема Карлесона о том, что ряд Фурье такой функции сходится почти всюду. Можно ли утверждать, что функция равна сумме ряда Фурье почти всюду? Заранее благодарю.

[g______d]

LazyFool1 в сообщении #1406213 писал(а):

Можно ли утверждать, что функция равна сумме ряда Фурье почти всюду?

Да, конечно.

Вообще, пусть у нас есть пространство с конечной мерой и последовательность, которая сходится в $L^2$ к функции $f$ и почти везде к функции $g$. Тогда она сходится по мере и к $f$, и к $g$, а предел по мере единственен (с точностью до множества меры нуль).

Очевидно обобщается на $\sigma$-конечный случай, нужно просто сузить на исчерпывающую последовательность множеств конечной меры.

[LazyFool1]

Большое спасибо.

[LazyFool1]

g______d, простите, я почти ничего не помню из общей теории меры и интеграла, скажите, пожалуйста, там точно никаких дополнительных свойств у функций, например, измеримости, быть не должно, или они следуют автоматически? В общем, мне кажется, вы правы.

[g______d]

LazyFool1 в сообщении #1406376 писал(а):

измеримости

Я неявно предположил, что измеримость есть, потому что она предполагается как часть определения пространства $L^2$, ну и без измеримости не ясно, как вычислять коэффициенты Фурье.

[LazyFool1]

Простите, а для функции g никаких подобных условий не нужно?

[g______d]

LazyFool1 в сообщении #1406386 писал(а):

Простите, а для функции g никаких подобных условий не нужно?

В "общем" утверждении, которое я привёл, предполагается, что все элементы последовательности являются измеримыми функциями. Тогда и $f$, и $g$ автоматически измеримы.

В Вашем примере, если исходная функция измерима и принадлежит $L^2$, то частичные суммы ряда Фурье измеримы, поэтому их предел почти всюду тоже измерим.

[LazyFool1]

Ещё раз спасибо.