Алгебр. алгоритм для док-ва отркытых подмножеств $\mathbb C$

[yovska]

Существует ли алгебраический алгоритм для написания доказательств oтносительно открытых подмножеств $\mathbb C$?

К примеру, если я хочу доказать, что множество $|z-1|<|z-i|$ открытое (исходя из определения), то существует ли какой-нибудь алгебраический шаблон для быстрого доказательства данного утверждения?

Если взять следующее утверждение и его док-во за "шаблон",

Цитата:

Claim: $S = \{z \in \mathbb C: 2 < |z - 2| < 4\}$ is open.

Proof: Let $z \in S, \ r = \min\{|z - 2| - 2, 4 - |z - 2|\}$.

Suppose $w \in N_r(z).$ Then $|w - z| < r$ meaning $|w - z| < 4 - |z - 2|$ and so $|w - 2| = |w - z + z - 2| \le |w - z| + |z - 2| < 4.$

Also, $|w - z| < |z - 2| - 2$. So, $2 < |z - 2| - |w - z| = |z - w + w - 2| - |w - z| \le |z - w | + | w - 2| - |w - z| = |w - 2|$.

Thus $2 < |w - 2| < 4$ and so $w \in S. $

то (исходя из того, что абсолютная величина комплексного числа вещественна, а потому два утверждения выше похожи) можно наивно написать что-то вроде следующего (скатано слово в слово с док-ва выше):

Пусть $r = |z - i| - |w - 1|$. Допустим $w \in N_r(z)$. Тогда $|w - z| < |z - i| -|w - 1|$. Таким образом,

$|w - 1| \\ < |z - i| - |w - z| \\ = |z - w + w - i| - |w - z| \\ \le |z - w| + |w - i| - |w - z| \\ = |w - i|$

Наконец, $w \in \{z \in \mathbb C: |z - 1| < |z - i|\}$.

Тут наверно определение радиуса не правильное. Даже если так, то все же есть ли какой-нибудь быстрый алгебраический метод или все равно придется рисовать картинки?

Спасибо.

[nnosipov]

yovska в сообщении #1405821 писал(а):

К примеру, если я хочу доказать, что множество $|z-1|<|z-i|$ открытое (исходя из определения), то существует ли какой-нибудь алгебраический шаблон для быстрого доказательства данного утверждения?

Да, существует, он связан с понятием непрерывности функции комплексного переменного (в данном случае речь идет о функции $f(z)=|z-1|-|z-i|$).

[yovska]

nnosipov

Если предположить, что человеку еще предстоит познакомиться с понятием непрерывности в топологическом смысле, то ваш ответ будет отрицательным?

[nnosipov]

yovska
В простейших ситуациях типа Вашего примера что картинки, что какие-то алгебраические манипуляции --- все едино, потому что очевидно. А в сложных ситуациях (сложные выражения, задающие область) --- нужно познакомиться с концепцией непрерывности.

[yovska]

nnosipov

Спасибо. Ясно. Последний вопрос если не возражаете. Не могли бы Вы посоветовать какие-нибудь учебники на данную тему? Особенно на английском.

[nnosipov]

yovska в сообщении #1405826 писал(а):

Не могли бы Вы посоветовать какие-нибудь учебники на данную тему?

На тему функций комплексного переменного? Любой вузовский учебник, хороших довольно много.

К сожалению, сейчас не могу подробно отвечать. Можно попробовать поискать на форуме списки рекомендованной литературы, они есть.

[yovska]

nnosipov

Для развития чутья на топологию плоскости. Мне хотелось бы при взгляде на какое-нибудь подмножество $\mathbb C$, сразу распознать картину ситуаций, немедленно определить нужный радиус и выдать правильный аргумент без опора на понятие непрерывности. Ну хотя бы в простейших ситуациях.

Например, если начертить множество $|z - 1| < |z - i|$, то видно где находится $z$. Но при этом как-то трудно определить радиус окрестности произвильного $z$.

[mihaild]

В неравенствах вида $|z - a| < |z - b|$ еще можно что-то сделать - это просто множества точек, которые к $a$ ближе, чем к $b$ (т.е. открытая полуплоскость, ограниченная прямой, проходящей через $\frac{a + b}{2}$ и перпендикулярная отрезку $(a, b)$). Но как только будут чуть более сложные функции (композиции, или просто суммы нескольких простых) - по сути придется повторять доказательство непрерывности композиции / суммы / ...

[yovska]

mihaild

При наличий действенного и простого метода решения таких задач, требование не использовать непрерывность может быть интереснo только экзаменторам. В связи с этим мне хотелось бы перечислить все возможные (или самые главные) открытые подмножества $\mathbb C$, решить каждого из них по отдельности и занести все это в мой справочник всяко-разных фактов, вместо того, чтоб придумывать новые док-ва каждый раз (часто совершенно неверные).

Начу с

$|z - c_1| > c_2$

$|z - c_1| < c_2$

$c_1 < |z - c_2| < c_3$

$\Im(z) > c$

$\Re(z) < c$

$|z - c_1| < |z - c_2|$

У меня два вопроса.

- Достаточно ли одного способа док-ва для док-во открытости всех множеств одного вида? К примеру, если аргумент $X$ показывает достоверность того факта, что $|z| > 1$ открыт, to сумеет ли $X$ сделать то же самое относительно $|\arg(z) | > \frac{\pi}{2}$?

- Если ответ на вопрос выше "да" (или его не существует), то чем еще можно дополнить список неравентсв выше?

Спасибо.

[demolishka]

yovska, не ясно чего Вы хотите. Открытость множества $\{ f(x) < 0 \}$ для непрерывной функции $f \colon X \to \mathbb{R}$ на топологическом пространстве $X$ вытекает просто из определения непрерывности. Если же Вы хотите доказывать открытость таких множеств конструктивно, т. е. для каждой точки указать шаровую окрестность получше (=побольше) или просто какую-то, с которой она лежит в этом множестве, то все существенно зависит от вида функции $f$ и никакими списками здесь не обойтись.

[yovska]

demolishka

Меня интересует конструктивное док-во открытости. Мне часто трудно определить подходящий радиус, особенно если для этого приходится решать геометрические задачи на плоскости (хоть и простые). А с геометрией я не особо дружу -- слабость, которую все равно придется устранять со временем. Существует ли какой-нибудь не геометрический способ быстрого нахождения нужного радиуса, который работает в большинстве ситуаций?

Спасибо.

[demolishka]

yovska в сообщении #1406162 писал(а):

Существует ли какой-нибудь не геометрический способ быстрого нахождения нужного радиуса, который работает в большинстве ситуаций?

Нет.

[yovska]

demolishka в сообщении #1406167 писал(а):

yovska в сообщении #1406162 писал(а):

Существует ли какой-нибудь не геометрический способ быстрого нахождения нужного радиуса, который работает в большинстве ситуаций?

Нет.

Печально.

Спасибо.