Количество векторов в представлении линейной оболочки

[SemDvs]

Добрый день!

У меня появился небольшой вопрос по линейной оболочке, помогите разобраться, пожалуйста.
Линейной оболочкой пространства $L$ называют множество всех векторов представленных с помощью линейной комбинацией над векторами $\nu = \left\lbrace \nu_1, \nu_2, ..., \nu_n \right\rbrace $, где $\nu$ является базисом пространства $L$.
Тогда для проверки на принадлежность линейной оболочки, нужно убедиться, что в заданном базисе может быть представлен некоторый, нужный нам, вектор $x$. Верно?

Есть набор векторов из $\mathbb{R}^n$:
$v_1 = \left\lbrace 1, 1, 1, 1 \right\rbrace$
$v_2 = \left\lbrace 0, 1, 0, 0 \right\rbrace$
$x = \left\lbrace 0, 1, a, 0 \right\rbrace$

Тогда почему, для проверки, что вектор $v$ принадлежит линейной оболочке векторов $x_1$, $x_2$ нужно проверить, что $v$ можно представить как линейную комбинацию над $x_1$, $x_2$ ведь эти векторы не представляют базис $\mathbb{R}^n$ пространства (в $\mathbb{R}^n$ пространстве должно быть $n$ векторов).
Подскажите, почему это так или где ошибка в рассуждениях?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[iifat]

Ну, по определению линейной оболочки, вообще-то. И разумеется, вектора, на которые натягивается эта самая оболочка, не обязаны быть базисом, да и даже линейно независимыми быть не обязаны.

[SemDvs]

iifat в сообщении #1406127 писал(а):

Ну, по определению линейной оболочки, вообще-то. И разумеется, вектора, на которые натягивается эта самая оболочка, не обязаны быть базисом, да и даже линейно независимыми быть не обязаны.

Т.е. линейна оболочка может быть натянута на любые вектора?

[demolishka]

SemDvs в сообщении #1406118 писал(а):

Подскажите, почему это так или где ошибка в рассуждениях?

Ошибка в неправильном определении.

SemDvs в сообщении #1406118 писал(а):

Линейной оболочкой пространства $L$ называют множество всех векторов представленных с помощью линейной комбинацией над векторами $\nu = \left\lbrace \nu_1, \nu_2, ..., \nu_n \right\rbrace $, где $\nu$ является базисом пространства $L$.

Чем тогда по этому определению отличается линейная оболочка и само пространство? (Ничем)

Линейная оболочка множества $S$ (в векторном пространстве $L$) это наименьшее подпространство, содержащее множество $S$. Это то же самое, что множество всех конечных линейных комбинаций, в которых участвуют векторы из $S$. Конечно для построения линейной оболочки множества $S$ достаточно выбрать из него максимальную систему линейно независимых векторов. Тогда вопрос о принадлежности вектора оболочке сводится к возможности разложения этого вектора по выбранной системе.

[Munin]

demolishka
А как это называется, если допускаются бесконечные линейные комбинации? Или если такого понятия нет, то почему?

[SemDvs]

demolishka в сообщении #1406140 писал(а):

Линейная оболочка множества $S$ (в векторном пространстве $L$) это наименьшее подпространство, содержащее множество $S$. Это то же самое, что множество всех конечных линейных комбинаций, в которых участвуют векторы из $S$. Конечно для построения линейной оболочки множества $S$ достаточно выбрать из него максимальную систему линейно независимых векторов. Тогда вопрос о принадлежности вектора оболочке сводится к возможности разложения этого вектора по выбранной системе.

Т.е. линейная оболочка представляет собой множество всех линейных комбинаций из $S$, но $S$ не обязательно является базисом изначального пространства, но при этом вектора в $S$ линейно независимы?
Возможно я что-то путаю, но не означает ли это, что $S$ является по сути базисом подпространства пространства $L$?

[demolishka]

Munin в сообщении #1406144 писал(а):

как это называется, если допускаются бесконечные линейные комбинации?

Для взятия "бесконечных линейных комбинаций" нужна топология, чтобы определить, что это такое. Это используется (см. базис Шаудера), только для других целей. Если нужно наименьшее замкнутое подпространство, то просто берут замыкание линейной оболочки.

SemDvs в сообщении #1406145 писал(а):

линейная оболочка представляет собой множество всех линейных комбинаций из $S$, но $S$ не обязательно организуют базис какого-то пространства

Да.

SemDvs в сообщении #1406145 писал(а):

но при этом вектора в $S$ линейно независимы?

Нет.

[SemDvs]

demolishka
Прошу прощения, видимо я исправил сообщение в момент, когда вы отвечали на вопрос.
Если $S$ является множеством с линейно независимыми векторами (как я понял, для конструирования оболочки нужна линейно независимые вектора) то по сути, они организуют базис какого-то подпространства?

[demolishka]

SemDvs в сообщении #1406150 писал(а):

Если $S$ является множеством с линейно независимыми векторами то по сути, они организуют базис какого-то подпространства?

Не "какого-то подпространства", а вполне конкретного, которое и будет линейной оболочкой этого множества векторов $S$.

[SemDvs]

demolishka
Спасибо большое!

[arseniiv]

SemDvs в сообщении #1406150 писал(а):

как я понял, для конструирования оболочки нужна линейно независимые вектора

Не обязательно. Часть пользы как раз в том, что на векторы нет никаких ограничений.

Есть например похожее понятие выпуклой оболочки векторов (хотя лучше точек) — множество всех их выпуклых линейных комбинаций, то есть таких, коэффициенты в которых неотрицательны и в сумме дают единицу. Тогда выпуклая оболочка двух несовпадающих точек $A, B$ будет отрезком $AB$, трёх неколлинеарных — треугольником, но если они все лежат на одной прямой, то выпуклая оболочка не исчезнет — она выродится в отрезок совершенно логичным образом.