теорема Котельникова

[philurame]

Здравствуйте! Помогите пожалуйста:
теорема утверждает, что если преобразование Фурье финитно, то для того, чтобы восстановить исходную функцию (из дискретной) нужно для этой дискретизации взять вдвое большую частоту, чем максимальная.

Я не могу понять откуда здесь берется удвоенная частота.

Напоминание: $\tilde{f}(\alpha)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\alpha x}dx$,
$f(x)=\frac{1}{2 \pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\tilde{f}(\alpha)e^{ix\alpha}d\alpha$,
f(x)=$\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\pi L}c_k e^{ikx}$, $c_k=\int\limits_{-{\pi}L}^{{\pi}L}f(x)e^{-i\frac{k}{L}x}dx$

Пусть $supp\tilde{f}\subset[-\pi L, \pi L]$
$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-{\pi}L}^{{\pi}L}\tilde{f}(\alpha)e^{i\alpha x}d \alpha$
тогда
$\frac{f(-\frac{k}{L})}{L}$ - k-й коэффициент Фурье своего преобразования. Таким образом восстанавливается $\tilde{f}(\alpha)$.

Далее $\tilde{f}(\alpha)=\frac{1}{L}\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}f(-\frac{k}{L})e^{ik\alpha}$
тогда $f(x)=\frac{1}{2\pi L}\sum\limits_{k}^{}f(-\frac{k}{L})*\int\limits_{-{\pi}L}^{{\pi}L}e^{ik\alpha}e^{ix\alpha}d\alpha=\sum\limits_{k}^{}f(-\frac{k}{L})\frac{sin(\pi L(k+x))}{\pi L(k+x)}$

То есть для восстановления исходной функции необходимо в пи раз меньшая частота...

[Евгений Машеров]

Домножьте на $2\pi$, переведя частоту из радиан/с в герцы...

[philurame]

Евгений Машеров
Извините, но переведя в герцы, казалось бы, ничего не изменится:
$\frac{1}{L}\mapsto \frac{1}{2\pi L}$, тогда и $supp \tilde{f}\subset [-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]$.
тогда опять отношение будет в пи раз меньше...
Что я не так понял?

[B@R5uk]

Если хотите, могу предложить объяснение на пальцах. Попробуйте просемплировать синус с частотой дискретизации, равной частоте самого синуса, и с удвоенной частотой. Разумеется, лучше точки семплирования взять в максимумах синуса. Сразу станет видно, что для равной частоты выйдет константа, а для удвоенной — знакочередующаяся последовательность. Константу сколько с синками не сворачивай, выйдет константа, а если взять знакочередующуся последовательность, по при свёртке с синками получим исходный синус.

Хотя, я понимаю, что вас больше интересует ошибка в ваших выводах. Но когда вы уже знаете, каков должен быть правильный результат, то искать ошибку должно быть легче.

[arseniiv]

Чем, как мы знаем, страшна дискретизация? Она есть умножение на расчёску Дирака, что в частотной области соответствует свёртке с расчёской Дирака, и амплитуда некоторой частоты результата несёт в себе вклады других исходых частот, отстоящих на целое число шагов расчёски. Чтобы восстановить сигнал однозначно, можно обрезать частоты так, чтобы те остальные вклады были нулевыми — например если мы оставим только частоты $[-f_0; f_0]$, мы сможем взять частоту дискретизации не меньше $2f_0$, равного длине предыдущего промежутка. Чуть только мы уменьшим её, пойдёт алиасинг. Я вроде не заметил проверки перекрывания в исходном посте.

[Евгений Машеров]

У Вас в выкладках в одних местах частота получается в герцах (обратно периоду), в других в радианах/с. Поставьте везде одинаковые величины и получите именно то, что доказал Котельников.
А до того - Вы доказали, что частота оцифровки в герцах равна максимальной частоте в радианах/с, делённой на Пи. Что формально совершенно правильно, только мерять одинаковые величины в разных единицах некомильфо.

[philurame]

Евгений Машеров
то есть, на самом деле, носитель из радиан в Гц $\subset[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]$, а сама функция и так в Герцовой частоте. Я понял, спасибо!

[Утундрий]

Когда человек научается обезразмеривать задачу перед тем как считать ее численно, все эти недоразумения отпадают сами собой...

[philurame]

Утундрий
верно сказано.