Точное решение трансцендентного уравнения?

[Mathew Rogan]

Столкнулся с необходимостью решить в общем уравнение:
$a\tg x = \sin x + b$, где $a>0, b \geqslant0.$

Понятно, что это уравнение легко решить численно итерационными методами при заданных значениях $a$ и $b$, но мне необходимо аналитическое решение в виде некоторой функции:
$x = f(a, b).$

Что я пробовал: несложно, например, свести исходное уравнение к уравнению четвёртой степени путём замены $t = \sin x$:
$\frac{at}{\sqrt{1-t^2}} = b + t$, откуда получается $t^4 + 2bt^3 + (a^2+b^2-1)t^2 - 2bt -b^2 =0.$
Но решать это уравнение в общем виде по формулам Феррари тоже не вариант.

Ещё я раскладывал синус и косинус в ряды по степеням и искал обратный ряд. Но полученный ряд оказался не очень работоспособным из-за медленной сходимости.

Подскажите, в каком направлении можно ещё покопать. Меня устроит ответ, выраженный через любые специальные функции, или в виде сходящегося степенного ряда.

Можно ещё проанализировать граничные случаи для значений искомой функции:
$f(a, 0) = \arccos a,$
$\lim\limits_{b \to \infty}^{} f(a, b) = \arctg \frac{b}{a}.$

Но как склеить эти асимптотики?..

[gris]

Мелочь, конечно, но в пограничном случае $b=0$ потеряли решения $x=\pi n$. Попробуйте порешать частные случаи $\tg x= \sin x+1; \tg x= \sin x+2;\tg x= 2\sin x+1$, чтобы нащупать хотя бы вид общего решения.

[Евгений Машеров]

А можно вопрос, откуда необходимость исключительно в аналитическом виде? Может, достаточно будет посчитать для достаточно частой сетки по a и b, а потом интерполировать?
Кстати, а что-то и про коэффициенты, и про ожидаемые значения решения известно?
Ну и как вариант - домножить на $\cos x$, приравнять слева сдвинутый синус, справа синус двойного угла, а там хоть численно, хоть разложивши в ряды...