Случайные блуждания, задаваемые матрицей плотности

[madschumacher]

Добрый день Всем!

Очередное обострение, очередные глупые вопросы.
Есть ли какой способ построить случайное блуждание на сетке, чтобы оно представляло известную матрицу плотности?
Более конкретно: имеется модель Хаббарда (или точнее Хюккеля) из $N$ точек, имеется матрица плотности стационарного состояния на этих точках размера $N\times N$, и хочется представить это состояние себе как случайное блуждание частицы по этим $N$ точкам, с вероятностями перехода, вычисляемыми на основе матрицы плотности.

Я искал по вариантам random walk (вкл. quantum), но там, как я понимаю, интерес несколько иной, хочется или получить эту матрицу плотности, или проследить за эволюцией некоего состояния.

[Gickle]

Вы бы расписали поподробнее вопрос, какие-то выкладки бы привели, тогда бы, может, кто-то что-то и постарался посоветовать. Это же $1D$? $N$ -- число узлов? А частиц сколько, тоже $N$? А почему вдруг матрица $N\times N$? Мне казалось, что гильбертово пространство должно быть поболее. Или вы в приближении Хартри-Фока работаете? И так далее и тому подобное...

[realeugene]

В одном и том же состоянии можно оставаться несколько шагов с произвольной вероятностью? Если да - то всё должно быть просто. Все узлы считаем достижимыми из любого узла решетки. Тогда, если мы устремляем вероятность переходя по этой петле в себя к единице, не трогая никакие вероятности переходов по другим дугам, то вероятность для этого узла в матрице стационарной плотности будет стремиться к единице, а для всех остальных узлов - к нулю. При этом, отношения вероятностей в стационарной матрице плотности для всех других состояний должны остаться неизменными. То есть, двигая вероятности нужных петель вверх, можно получить нужное стационарное распределение.

Disclaim: это всё я придумал только что.

[madschumacher]

Спасибо за ответы.

Речь про всё тот же несчастный метод Хюккеля для $\pi$-систем. У нас имеется гамильтониан вида
$\hat{H} = \alpha \sum_{n=1}^{N} |n \rangle \langle n| + \beta \sum_{n=1}^N \sum_{m=1, m\neq n}^{N} C_{nm}|n\rangle \langle m|$,
где $|n\rangle$ -- атомная орбиталь $n$-го атома углерода, а
$C_{nm} = C_{mn} = \begin{cases} 1 , \ \text{если атомы} \ m \ \text{и} \ n \ \text{связаны одинарной связью}, \\ 0 \ \text{иначе}\end{cases}$
матрица молекулярного графа для $\pi$-системы.
Естественно, можно найти собственные вектора вида $|\psi_k \rangle = \sum_{n=1}^N c_{kn} |n\rangle$, для которых $\hat{H} |\psi_k\rangle = \varepsilon_k |\psi_k\rangle$ -- это молекулярные орбитали. Матрица одноэлектронной плотности в базисе атомных функций $|n\rangle$ будет иметь вид $P_{nm} = \sum_k w_k c_{kn}^* c_{km}$, где $w_k = 0,1,2$ -- заселённость орбитали. Диагональные элементы этой матрицы связаны с зарядами на атомах, а недиагональные -- это порядки связей.

Так вот, мне хочется построить случайное блуждание на этой системе, чтобы получить какую-нибудь оценку фрактальной размерности этой системы, например, в стиле $L_N \propto N^D$, где $L$ -- длина траектории в единицах длины рёбер графа, $N$ -- число шагов случайного блуждания, а $D$ -- размерность.

Но, если есть какие-то более простые способы ввести эту размерность для такой конечной системы, я был бы очень рад.

[g______d]

madschumacher в сообщении #1405005 писал(а):

случайное блуждание частицы по этим $N$ точкам, с вероятностями перехода, вычисляемыми на основе матрицы плотности

Если дана матрица вероятностей перехода, то вероятности перехода через $N$ шагов будут просто этой матрицей в степени $N$. Учитывая, что матрица плотности является суммой ортогональных проекторов (матриц со свойством $P^*=P^2=P$, на обычном языке линейной алгебры), вычислить её степени должно быть не сложно.

[realeugene]

madschumacher в сообщении #1405217 писал(а):

$P_{nm} = \sum_k w_k c_{kn}^* c_{km}$

Это же эрмитова матрица? Что такое случайные блуждания на этой системе?

[madschumacher]

realeugene в сообщении #1405235 писал(а):

Что такое случайные блуждания на этой системе?

Это я и пытаюсь понять, как можно что-то подобное построить.

g______d в сообщении #1405228 писал(а):

Учитывая, что матрица плотности является суммой ортогональных проекторов

Но матрица плотности должна обладать свойством $\rho^2=\rho$, и в этом смысле она должна являться стационарным распределением цепи Маркова?

[g______d]

madschumacher в сообщении #1405249 писал(а):

Но матрица плотности должна обладать свойством $\rho^2=\rho$

Только в случае чистого состояния (одно $w_k$ равно единице, остальные нули). Но в целом да, та же картина, с точностью до нормировок.

[Утундрий]

Кстати, в случае "нечистого случая" это не "сумма проекторов", а классически взвешенная "сумма проекторов". Хотя дело давнее, так что поправьте меня, ежели вру.

[g______d]

Утундрий в сообщении #1405251 писал(а):

классически взвешенная "сумма проекторов"

Да, взвешенная.

[Утундрий]

Ок.

[amon]

madschumacher в сообщении #1405005 писал(а):

Есть ли какой способ построить случайное блуждание на сетке, чтобы оно представляло известную матрицу плотности?

Может быть не в тему, но... Всякие случайные блуждания, IMHO, будут давать всяческие решения задач для вероятностей (случайным блужданием по прямой можно получить функцию Грина для уравнения диффузии). То есть, результатом будет некоторая вероятность. В квантовой механике мы имеем дело в амплитудами,а не вероятностями. Поэтому прямо в лоб решение квантово-механической задачи, как мне кажется, так не получить. С другой стороны, то же уравнение диффузии это уравнение Шредингера в мнимом времени. То есть, можно попытаться подобрать классическую задачу, соответствующую Вашей задаче в мнимом времени, решить ее блужданиями и продолжить ответ на мнимое время. Последний шаг как-то вызывает сомнения, но вдруг ...

[g______d]

amon в сообщении #1405271 писал(а):

С другой стороны, то же уравнение диффузии это уравнение Шредингера в мнимом времени.

То есть уравнение теплопроводности. У которого, действительно, есть решение, которое можно выписать в виде случайного блуждания. Типа функционального интеграла, но у траекторий будет экспоненциально затухающий вес (вместо набега фазы), и он будет честно сходиться.

-- Пн, 15 июл 2019 15:43:37 --

amon в сообщении #1405271 писал(а):

Поэтому прямо в лоб решение квантово-механической задачи, как мне кажется, так не получить.

В данном случае, по-моему, даже УШ точно решается.

-- Пн, 15 июл 2019 15:44:12 --

(если я правильно понял контекст).

[Gickle]

А, кажется, я начал понимать, что вы хотите. Я правильно понимаю, что система находится в основном состоянии? Если да, то лично я бы начал смотреть в сторону стохастического квантования, выглядит чем-то близким. Вероятно, логика у меня сейчас будет в духе "в Париж через Мамадыш", ближе к вечеру голова уже не особо соображает:

$$\rho_{ab} = \left\langle \varphi_a | \hat{\rho}_0 | \varphi_b \right\rangle = \left\langle \varphi_a \left| e^{-\beta \hat{H}} \right| \varphi_b \right\rangle \qquad \text{при } \beta \to \infty,$$

где $|\varphi_a\rangle$ -- базисные функции. Это дело несложно переписать в виде интеграла по траекториям:

$$\rho_{ab} = \int_{\varphi_a}^{\varphi_b} D \varphi \, e^{-S[\varphi]}$$

Это дело, в свою очередь, можно представить в виде уравнения Фоккера-Планка (по сути, выше написано уравнение Чепмена-Колмогорова, повторённое много раз), уравнения Ланжевена, соответствующего master equation и т.п. И элемент матрицы плотности $ab$ будет отвечать случайному блужданию с закреплёнными концами на $0$ и $\infty$. Только есть вроде как одна штука, не совсем соответствующая вашим требованиям. Здесь амплитуды перехода будут:

$$p_{nm} = \left\langle \varphi_n \left| e^{-\Delta \tau \hat{H}} \right| \varphi_m \right\rangle \qquad \text{при } \Delta \tau\to 0,$$

что, в сущности, есть классические амплитуды перехода.

Дальше мне пока что лень писать, но мысль моя и так ясна, мне кажется.

UPD: Хотя тут блуждание не по узлам решётки, разумеется, а по базисным состояниям системы. Не уверен, что вы именно этого хотите, поскольку тут никакого $L_N$ в единицах расстояний между соседними узлами нет.

[g______d]

Если честно, я плохо понимаю, чего интересного здесь можно найти здесь (если только не искать то, чего в самой модели нет). Написанный гамильтониан -- это свободная частица в приближении сильной связи на конечном отрезке с nearest neighbor hopping. Она точно решаемая. Я могу попробовать ответить на любой корректно сформулированный вопрос об этой модели (если смогу перевести его на математический язык).