2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Случайные блуждания, задаваемые матрицей плотности
Сообщение14.07.2019, 11:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
1960
Внутри ускорителя
Добрый день Всем!

Очередное обострение, очередные глупые вопросы.
Есть ли какой способ построить случайное блуждание на сетке, чтобы оно представляло известную матрицу плотности?
Более конкретно: имеется модель Хаббарда (или точнее Хюккеля) из $N$ точек, имеется матрица плотности стационарного состояния на этих точках размера $N\times N$, и хочется представить это состояние себе как случайное блуждание частицы по этим $N$ точкам, с вероятностями перехода, вычисляемыми на основе матрицы плотности.

Я искал по вариантам random walk (вкл. quantum), но там, как я понимаю, интерес несколько иной, хочется или получить эту матрицу плотности, или проследить за эволюцией некоего состояния.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные блуждания, задаваемые матрицей плотности
Сообщение15.07.2019, 16:55 


29/12/14
436
Вы бы расписали поподробнее вопрос, какие-то выкладки бы привели, тогда бы, может, кто-то что-то и постарался посоветовать. Это же $1D$? $N$ -- число узлов? А частиц сколько, тоже $N$? А почему вдруг матрица $N\times N$? Мне казалось, что гильбертово пространство должно быть поболее. Или вы в приближении Хартри-Фока работаете? И так далее и тому подобное...

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные блуждания, задаваемые матрицей плотности
Сообщение15.07.2019, 18:07 


27/08/16
6061
В одном и том же состоянии можно оставаться несколько шагов с произвольной вероятностью? Если да - то всё должно быть просто. Все узлы считаем достижимыми из любого узла решетки. Тогда, если мы устремляем вероятность переходя по этой петле в себя к единице, не трогая никакие вероятности переходов по другим дугам, то вероятность для этого узла в матрице стационарной плотности будет стремиться к единице, а для всех остальных узлов - к нулю. При этом, отношения вероятностей в стационарной матрице плотности для всех других состояний должны остаться неизменными. То есть, двигая вероятности нужных петель вверх, можно получить нужное стационарное распределение.

Disclaim: это всё я придумал только что.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные блуждания, задаваемые матрицей плотности
Сообщение15.07.2019, 20:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
1960
Внутри ускорителя
Спасибо за ответы.

Речь про всё тот же несчастный метод Хюккеля для $\pi$-систем. У нас имеется гамильтониан вида
$\hat{H} = \alpha \sum_{n=1}^{N} |n \rangle \langle n| + \beta \sum_{n=1}^N \sum_{m=1, m\neq n}^{N} C_{nm}|n\rangle \langle m|$,
где $|n\rangle$ -- атомная орбиталь $n$-го атома углерода, а
$C_{nm} = C_{mn} = \begin{cases} 1 , \ \text{если атомы} \ m \ \text{и} \ n \ \text{связаны одинарной связью}, \\ 0 \ \text{иначе}\end{cases}$
матрица молекулярного графа для $\pi$-системы.
Естественно, можно найти собственные вектора вида $|\psi_k \rangle = \sum_{n=1}^N c_{kn} |n\rangle$, для которых $\hat{H} |\psi_k\rangle = \varepsilon_k |\psi_k\rangle$ -- это молекулярные орбитали. Матрица одноэлектронной плотности в базисе атомных функций $|n\rangle$ будет иметь вид $P_{nm} = \sum_k w_k c_{kn}^* c_{km}$, где $w_k = 0,1,2$ -- заселённость орбитали. Диагональные элементы этой матрицы связаны с зарядами на атомах, а недиагональные -- это порядки связей.

Так вот, мне хочется построить случайное блуждание на этой системе, чтобы получить какую-нибудь оценку фрактальной размерности этой системы, например, в стиле $L_N \propto N^D$, где $L$ -- длина траектории в единицах длины рёбер графа, $N$ -- число шагов случайного блуждания, а $D$ -- размерность.

Но, если есть какие-то более простые способы ввести эту размерность для такой конечной системы, я был бы очень рад.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные блуждания, задаваемые матрицей плотности
Сообщение15.07.2019, 21:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5606
madschumacher в сообщении #1405005 писал(а):
случайное блуждание частицы по этим $N$ точкам, с вероятностями перехода, вычисляемыми на основе матрицы плотности


Если дана матрица вероятностей перехода, то вероятности перехода через $N$ шагов будут просто этой матрицей в степени $N$. Учитывая, что матрица плотности является суммой ортогональных проекторов (матриц со свойством $P^*=P^2=P$, на обычном языке линейной алгебры), вычислить её степени должно быть не сложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные блуждания, задаваемые матрицей плотности
Сообщение15.07.2019, 22:05 


27/08/16
6061
madschumacher в сообщении #1405217 писал(а):
$P_{nm} = \sum_k w_k c_{kn}^* c_{km}$

Это же эрмитова матрица? Что такое случайные блуждания на этой системе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные блуждания, задаваемые матрицей плотности
Сообщение15.07.2019, 23:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
1960
Внутри ускорителя
realeugene в сообщении #1405235 писал(а):
Что такое случайные блуждания на этой системе?

Это я и пытаюсь понять, как можно что-то подобное построить.
g______d в сообщении #1405228 писал(а):
Учитывая, что матрица плотности является суммой ортогональных проекторов

Но матрица плотности должна обладать свойством $\rho^2=\rho$, и в этом смысле она должна являться стационарным распределением цепи Маркова?

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные блуждания, задаваемые матрицей плотности
Сообщение15.07.2019, 23:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5606
madschumacher в сообщении #1405249 писал(а):
Но матрица плотности должна обладать свойством $\rho^2=\rho$


Только в случае чистого состояния (одно $w_k$ равно единице, остальные нули). Но в целом да, та же картина, с точностью до нормировок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные блуждания, задаваемые матрицей плотности
Сообщение15.07.2019, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
8049
Кстати, в случае "нечистого случая" это не "сумма проекторов", а классически взвешенная "сумма проекторов". Хотя дело давнее, так что поправьте меня, ежели вру.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные блуждания, задаваемые матрицей плотности
Сообщение15.07.2019, 23:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5606
Утундрий в сообщении #1405251 писал(а):
классически взвешенная "сумма проекторов"


Да, взвешенная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные блуждания, задаваемые матрицей плотности
Сообщение15.07.2019, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
8049
Ок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные блуждания, задаваемые матрицей плотности
Сообщение16.07.2019, 01:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3862
ФТИ им. Иоффе СПб
madschumacher в сообщении #1405005 писал(а):
Есть ли какой способ построить случайное блуждание на сетке, чтобы оно представляло известную матрицу плотности?
Может быть не в тему, но... Всякие случайные блуждания, IMHO, будут давать всяческие решения задач для вероятностей (случайным блужданием по прямой можно получить функцию Грина для уравнения диффузии). То есть, результатом будет некоторая вероятность. В квантовой механике мы имеем дело в амплитудами,а не вероятностями. Поэтому прямо в лоб решение квантово-механической задачи, как мне кажется, так не получить. С другой стороны, то же уравнение диффузии это уравнение Шредингера в мнимом времени. То есть, можно попытаться подобрать классическую задачу, соответствующую Вашей задаче в мнимом времени, решить ее блужданиями и продолжить ответ на мнимое время. Последний шаг как-то вызывает сомнения, но вдруг ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные блуждания, задаваемые матрицей плотности
Сообщение16.07.2019, 01:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5606
amon в сообщении #1405271 писал(а):
С другой стороны, то же уравнение диффузии это уравнение Шредингера в мнимом времени.


То есть уравнение теплопроводности. У которого, действительно, есть решение, которое можно выписать в виде случайного блуждания. Типа функционального интеграла, но у траекторий будет экспоненциально затухающий вес (вместо набега фазы), и он будет честно сходиться.

-- Пн, 15 июл 2019 15:43:37 --

amon в сообщении #1405271 писал(а):
Поэтому прямо в лоб решение квантово-механической задачи, как мне кажется, так не получить.


В данном случае, по-моему, даже УШ точно решается.

-- Пн, 15 июл 2019 15:44:12 --

(если я правильно понял контекст).

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные блуждания, задаваемые матрицей плотности
Сообщение16.07.2019, 01:46 


29/12/14
436
А, кажется, я начал понимать, что вы хотите. Я правильно понимаю, что система находится в основном состоянии? Если да, то лично я бы начал смотреть в сторону стохастического квантования, выглядит чем-то близким. Вероятно, логика у меня сейчас будет в духе "в Париж через Мамадыш", ближе к вечеру голова уже не особо соображает:
$$\rho_{ab} = \left\langle \varphi_a | \hat{\rho}_0 | \varphi_b \right\rangle  = \left\langle \varphi_a \left| e^{-\beta \hat{H}} \right| \varphi_b \right\rangle \qquad \text{при } \beta \to \infty,$$
где $|\varphi_a\rangle$ -- базисные функции. Это дело несложно переписать в виде интеграла по траекториям:
$$\rho_{ab} = \int_{\varphi_a}^{\varphi_b}  D \varphi \, e^{-S[\varphi]}$$
Это дело, в свою очередь, можно представить в виде уравнения Фоккера-Планка (по сути, выше написано уравнение Чепмена-Колмогорова, повторённое много раз), уравнения Ланжевена, соответствующего master equation и т.п. И элемент матрицы плотности $ab$ будет отвечать случайному блужданию с закреплёнными концами на $0$ и $\infty$. Только есть вроде как одна штука, не совсем соответствующая вашим требованиям. Здесь амплитуды перехода будут:
$$p_{nm} =  \left\langle \varphi_n \left| e^{-\Delta \tau \hat{H}} \right| \varphi_m \right\rangle \qquad \text{при } \Delta \tau\to 0,$$
что, в сущности, есть классические амплитуды перехода.

Дальше мне пока что лень писать, но мысль моя и так ясна, мне кажется.

UPD: Хотя тут блуждание не по узлам решётки, разумеется, а по базисным состояниям системы. Не уверен, что вы именно этого хотите, поскольку тут никакого $L_N$ в единицах расстояний между соседними узлами нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные блуждания, задаваемые матрицей плотности
Сообщение16.07.2019, 03:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5606
Если честно, я плохо понимаю, чего интересного здесь можно найти здесь (если только не искать то, чего в самой модели нет). Написанный гамильтониан -- это свободная частица в приближении сильной связи на конечном отрезке с nearest neighbor hopping. Она точно решаемая. Я могу попробовать ответить на любой корректно сформулированный вопрос об этой модели (если смогу перевести его на математический язык).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group