А, кажется, я начал понимать, что вы хотите. Я правильно понимаю, что система находится в основном состоянии? Если да, то лично я бы начал смотреть в сторону стохастического квантования, выглядит чем-то близким. Вероятно, логика у меня сейчас будет в духе "в Париж через Мамадыш", ближе к вечеру голова уже не особо соображает:

где

-- базисные функции. Это дело несложно переписать в виде интеграла по траекториям:
![$$\rho_{ab} = \int_{\varphi_a}^{\varphi_b} D \varphi \, e^{-S[\varphi]}$$ $$\rho_{ab} = \int_{\varphi_a}^{\varphi_b} D \varphi \, e^{-S[\varphi]}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/2/2220eb66d9b49cfc7daf30a98e3ae56482.png)
Это дело, в свою очередь, можно представить в виде уравнения Фоккера-Планка (по сути, выше написано уравнение Чепмена-Колмогорова, повторённое много раз), уравнения Ланжевена, соответствующего master equation и т.п. И элемент матрицы плотности

будет отвечать случайному блужданию с закреплёнными концами на

и

. Только есть вроде как одна штука, не совсем соответствующая вашим требованиям. Здесь амплитуды перехода будут:

что, в сущности, есть классические амплитуды перехода.
Дальше мне пока что лень писать, но мысль моя и так ясна, мне кажется.
UPD: Хотя тут блуждание не по узлам решётки, разумеется, а по базисным состояниям системы. Не уверен, что вы именно этого хотите, поскольку тут никакого

в единицах расстояний между соседними узлами нет.