Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства

[arseniiv]

george66 в сообщении #1404915 писал(а):

Плоскости в эллиптическом пространстве не замкнуты относительно операции $(abc)$

Да, это как раз занимательная вещь. Верно ли я понимаю, что если каким-то образом (даже не знаю как это пока определить) выпрямить поведение $(abc)$ (чтоб замкнутость появилась), мы внезапно получим евклидово пространство? Тогда возникнет вопрос, нельзя ли её дальше погнуть и получить гиперболическую геометрию.

(Оффтоп)

george66 в сообщении #1404915 писал(а):

Я выводил и сжимал, но прямо сейчас не хочу.

И не надо, это я сам как-нибудь сделаю когда нечего будет, но будет бумага.

-- Сб июл 13, 2019 19:51:29 --

george66 в сообщении #1404915 писал(а):

Я пытался в обратную сторону делать: начинаем с проективного пространства, в котором верна аксиома Паппа и задан поляритет (взаимно однозначное соответствие точек и плоскостей, сохраняющее инцидентность). Поляритет должен быть эллиптическим (никакая точка не лежит на своей полярной плоскости). Можно ли определить умножение точек (или сдвиги, или параллели Клиффорда)? Кажется, можно, но адски сложно.

Так, а поляритет ведь обычно предполагается проективным преобразованием между обычным пространством и пространством, состоящим из плоскостей? Какие на него можно ограничения наложить и как их выразить через операцию груды?

[arseniiv]

На всякий случай: «пространство, состоящее из плоскостей» — это проективизация $\wedge^m V$, где $m = \dim V - 1$. На него например переносится действие операторов $A\in\operatorname{End} V$: $\wedge^m A(\mathbf v_1\wedge\ldots\wedge\mathbf v_m) = A\mathbf v_1\wedge\ldots\wedge A\mathbf v_m$, на остальных элементах по линейности. Ещё мы можем получить оператор на этом же из оператора на том же внешней транспозицией $(A^{\wedge t} w)\wedge\mathbf v = w\wedge A\mathbf v$, где $w\in\wedge^m V$. Эти две штуки разные, и если их сделать одну за другой для матриц, получится присоединённая матрица (состоящая из алгебраических дополнений) из одной из вчерашних тем. Я не знаю, имеют ли поляритеты связь с чем-то из (проективизаций) этих операций, но кто-то может увидеть.

-- Сб июл 13, 2019 21:51:06 --

(И ещё на самом деле есть другие внешние степени, начиная со скучной 0-й, всегда единичного оператора, а эта будет $m$-й. Там оператор применяется не ко всем векторам в произведении, а только к всевозможным $k$ из них, всё суммируется. Такие отображения тоже линейны и корректно определены. Но высшая вроде чаще применима в разных местах.)

[Munin]

arseniiv в сообщении #1404928 писал(а):

из одной из вчерашних тем.

Не ссылайтесь, пожалуйста, так. Через четыре года это будет невозможно прочитать.

[george66]

Ещё соображения. Точка $(bab)$ есть отражение точки $a$ относительно точки $b$. Равенства

$(bab)=a$

$(aba)=b$

равносильны и означают, что либо $a=b$, либо точки $a,b$ удалены друг от друга на полпространства (такие точки называются полярными). Равносильность равенств легко проверить, если записать их в группе

$ba^{-1}b=a$

$ab^{-1}a=b$

Для полярных точек $a,b$ соответствующий поворот

$x\to ab^{-1}xa^{-1}b$

будет поворотом на 180 градусов, а элементы $ab^{-1}$ и $a^{-1}b$ инволютивными (квадрат инволютивного элемента равен единице, а сам он не равен единице, у нас это чисто мнимые кватернионы нормы единица). И вот это особый случай, поскольку поворот на 180 градусов в эллиптическом пространстве оставляет на месте не одну прямую, а две. Ещё одно, последнее усилие.

[george66]

Например, возьмём два полярных кватерниона $1,i$. Поворот на 180 градусов вокруг соединяющей их прямой выглядит так

$x\to -ixi$

Теперь возьмём два полярных кватерниона $j,k$. Поворот на 180 градусов вокруг соединяющей их прямой выглядит так

$x\to j(-k)x(-j)k$

то есть

$x\to ixi$

и это то же самый поворот, поскольку мы факторизуем по $\{1,-1\}$. Представьте себе глобус, поворачивающийся на 180 градусов. Экватор повернулся на 180 градусов. Теперь отождествим диаметрально противоположные точки сферы, экватор теперь остаётся на месте поточечно. У поворота на 180 градусов две неподвижные прямые ("ось" и "экватор"), они совершенно равноправны.
Попробуем задать прямую, проходящую через точки $1,i$. Старая формула выглядит так

$\{x\mid 1x^{-1}i=ix^{-1}1\}$

что равносильно

$\{x\mid ix=xi\}$

Но теперь под эту формулу подходят кватернионы $j,k$, поскольку они антикоммутируют с $i$, а мы факторизуем по $\{1,-1\}$ и не различаем коммутирование и антикоммутирование.
Вывод: для прямой, проходящей через две полярные точки, надо придумать другую формулу.

[george66]

Или вот ещё: как найти прямую пересечения двух плоскостей? Пусть плоскости заданы так

$\{x\mid (axa)=x\}$

$\{x\mid (bxb)=x\}$

Возьмём отражение относительно точки $a$, а потом отражение относительно точки $b$.

$x\to (b(axa)b)$

Композиция двух центральных симметрий есть поворот, который двигает прямую, проходящую через $a,b$ (не забываем, что она замкнута, как окружность), а полярную к ней прямую (пересечения плоскостей) оставляет на месте. Раскрыв скобки, поворот запишем так

$x\to ba^{-1}xa^{-1}b$

Множество его неподвижных точек можно записать так

$\{x\mid ax^{-1}a=bx^{-1}b\}$

опять же с оговоркой, что точки $a,b$ не должны быть полярными (в этом случае плоскости ортогональны и получается поворот на 180 градусов). В эллиптическом пространстве центральная симметрия относительно точки совпадает с отражением относительно её полярной плоскости. Если плоскости ортогональны, композиция двух отражений даёт поворот на 180 градусов.

[arseniiv]

Любое четырёхмерное вращение должно быть представимо как $x\mapsto (abxcd)$ (из $x\mapsto LxR$) — может, подобрать такое, чтобы не вращало лишнего?

-- Вс июл 14, 2019 21:06:58 --

А вот $x\mapsto b^{1/2} a^{-1/2} x a^{-1/2} b^{1/2}$ — не кратчайший поворот от $a$ до $b$? Если да, можно брать его степени и применять к $a$ (или $b$) и получить прямую параметрически. Правда как выразить $b^{1/2}, a^{-1/2}$…

-- Вс июл 14, 2019 21:08:44 --

Понятно, что в случае (назад к проективности) $(bab) = a$ у нас будет две равнозначные альтернативы (поворачивать от $a$ к $\pm b$), но наверно это не страшно?

[george66]

Конечно, чтобы повернуть точно от $a$ к $b$, надо брать середину отрезка $[a,b]$ (так-то получается поворот на вдвое больший угол).

А если правда не факторизовать по $\{1,-1\}$? Будет трёхмерная сфера. Дополнительная операция $-a$ (умножение на минус единицу) с аксиомами

$-(-a)=a$

$(-a)b=a(-b)=-ab$

Проективные аксиомы надо как-то ослабить. Типа: если большая окружность проходит через точку $a$, то она проходит и через точку $-a$. Через две разные точки $a,b$ проходит единственная большая окружность, если $b\neq -a$. Тогда плоскость будет задаваться так

$\{x\mid bx^{-1}b=-x\}$

если я ничего не путаю.

[george66]

На обычной плоскости или в пространстве композиция двух центральных симметрий есть сдвиг вдоль прямой, соединяющей центры симметрий, на удвоенное расстояние между ними. Аналогично, в эллиптическом пространстве получается поворот. С проективной точки зрения основная операция -- "инволютивная гомология", это как раз и есть отражение относительно точки, сохраняющее также на месте некоторую плоскость (в обычном пространстве бесконечно удалённую, а в эллиптическом - полярную плоскость к центру симметрии). Композиция двух таких отражений есть поворот, а чтобы сделать левый или правый сдвиг, надо четыре отражения. Вот почему с этой стороны мы заходить не будем.

[george66]

Чуть поясню, как устроена прямая в эллиптическом пространстве. Представьте окружность, на которой размещены числа $1,i,-1,-i$. Отождествим диаметрально противоположные точки, получим прямую в эллиптическом пространстве. Для каждой точки прямой есть полярная точка, полученная сдвигом на 90 градусов (для $1$ это $i$, для $i$ это $1$, для $(1+i)/\sqrt{2}$ это $(1-i)/\sqrt{2}$
Поворот эллиптического пространства на групповом языке в общем виде выглядит так

$x\to\alpha x\beta$

где $\alpha$ и $\beta$ сопряжённые элементы группы. Соответственно, прямая (ось поворота), задаётся так

$\{x\mid \alpha x\beta=x\}$

где $\alpha$ и $\beta$ сопряжённые, причём $\alpha^2\neq 1$ (это равносильно $\beta^2\neq 1$ и исключает тождественный поворот и повороты на 180 градусов).

[Утундрий]

george66
В старой книге Гильберта я видел реализацию эллиптического пространства за авторством Бойа. Может, если через нее, то станет чуть более понятно?

[george66]

Утундрий в сообщении #1405248 писал(а):

george66
В старой книге Гильберта я видел реализацию эллиптического пространства за авторством Бойа. Может, если через нее, то станет чуть более понятно?

А не гиперболического (Лобачевского)?

[Утундрий]

Я имею в виду книгу "Наглядная геометрия" Д. Гильберт, С. Кон - Фоссен и рассмотренную там модель Бойа (Boy) для проективной плоскости.

[george66]

Утундрий в сообщении #1405258 писал(а):

Я имею в виду книгу "Наглядная геометрия" Д. Гильберт, С. Кон - Фоссен и рассмотренную там модель Бойа (Boy) для проективной плоскости.

Ой, это вряд ли. Гораздо проще представлять проективную плоскость как половину сферы, у которой отождествлены противоположные точки экватора. Выползая через экватор, мы тут же вползаем с противоположной стороны, перевернувшись вверх ногами. Аналогично, трёхмерное проективное пространство - это шар с отождествлёнными противоположными точками сферы. Вылетая из шара, мы тут же влетаем в него с противоположной стороны, перевернувшись вверх ногами. Теперь в центре шара поместим число $1$, а на сфере числа $i,-i,j,-j,k,-k$ и вообще все мнимые кватернионы нормы единица. Прямые изображаются дугами окружностей (любых), лежащих внутри шара и пересекающих сферу в диаметрально противоположных точках (диаметры тоже годятся), а также большими окружностями сферы. Плоскости изображаются кусками сфер (любого радиуса), лежащих внутри шара и пересекающих внешнюю сферу шара по большим окружностям (плюс сама внешняя сфера является плоскостью). Картинка конформная, углы настоящие (как в эллиптическом пространстве).

[Утундрий]

Да, но я не говорил о "представить". Гораздо более интересней "реализовать".