2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение12.07.2019, 00:48 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Пытаюсь придумать удобную аксиоматику эллиптического пространства. Что это такое? Возьмём множество кватернионов нормы единица. Это трёхмерная единичная сфера в четырёхмерном пространстве кватернионов. Кроме того, она является группой по умножению. Отождествим кватернионы, отличающиеся умножением на минус единицу (факторизуем группу по $\{1,-1\}$). Получается трёхмерное проективное пространство, на нём задана метрика и структура группы, это и есть эллиптическое пространство.

-- 12.07.2019, 01:04 --

Теперь некоторые вспомогательные сведения. Пусть дана некоторая группа $G$. Мы можем "сменить в ней единичный элемент". А именно, возьмём произвольный элемент $b\in G$ и определим новые умножение и взятие обратного элемента

$a\cdot c=ab^{-1}c$

$\bar{a}=ba^{-1}b$

Предлагается проверить, что получается опять группа, изоморфная исходной, причём $b$ будет в ней единичным элементом. Изоморфизм из исходной группы в новую задаётся умножением на $b$ слева или справа (это разные изоморфизмы). Определим аксиоматически "группу, в которой неважно, какой элемент считать единичным". Множество с заданной трёхместной операцией $(abc)$ называется грудой, если выполнены аксиомы

$((abc)de)=(ab(cde))$

$(abb)=a$

$(aab)=b$

По данной группе $G$ можно определить груду, положив

$(abc)=ab^{-1}c$

Выбрав в груде произвольный элемент $b$ в качестве единичного, получаем группу с операциями

$a c=(abc)$

$a^{-1}=(bab)$

все эти группы изоморфны между собой.

-- 12.07.2019, 01:27 --

Естественная ситуация, в которой возникают груды - это торсоры. Торсор - это множество $X$, на котором действует группа $G$ просто транзитивно. Это значит, что для любых двух точек $x,y\in X$ есть ровно один элемент $g\in G$, переводящий $x$ в $y$

$g(x)=y$

Например, так действует группа параллельных переносов.
Другой важный пример - когда группа $G$ действует сама на себе левым умножением: элемент $x\in G$ под действием $g\in G$ переходит в $gx\in G$.
Третий важный пример - когда группа $G$ действует сама на себе правым умножением: элемент $x\in G$ под действием $g\in G$ переходит в $xg^{-1}\in G$.
Возьмём торсор. Например, плоскость, на которой действует группа параллельных переносов. Выберем произвольную точку $B$ плоскости (множества $X$) и получим взаимно однозначное соответствие между точками $X$ и элементами $G$ (каждой точке $A$ соответствует вектор $BA$). Изоморфизм зависит от выбора точки $B$. Это можно исправить, если вместо группы взять груду. Возьмём три точки $A,B,C$ и сопоставим им точку $D=(ABC)$, образующую с ними параллелограмм (это результат действия переноса $BA$ на точку $C$). Наша плоскость (множество $X$) превратилась в груду. В данном случае группа коммутативная, что выражается равенством

$(ABC)=(CBA)$

поэтому операцию равносильно определяем как результат действия $BC$ на точку $A$, но для произвольных групп левые переносы (умножение слева на элемент группы) не совпадают с правыми. На произвольной группе действуют просто транзитивно группа левых переносов и группа правых переносов, любой левый перенос коммутирует с любым правым, поскольку в группе есть ассоциативность

$(ab)c=a(bc)$

(умножение слева на $a$ коммутирует с умножением справа на $c$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение12.07.2019, 02:54 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Ещё немножко про кватернионы. Два кватерниона нормы единица коммутируют $ac=ca$ если и только если $a,1,c$ лежат на одной большой окружности трёхмерной сферы (в одном 2-мерном подпространстве 4-мерного пространства кватернионов). Например, таковы кватернионы $i,1,(i+1)/\sqrt{2}$
Обобщение: кватернионы нормы единица $a,b,c$ лежат на одной большой окружности если и только если

$ab^{-1}c=cb^{-1}a$

Введём операцию груды

$(abc)=ab^{-1}c$

При факторизации по $\{1,-1\}$ большие окружности становятся прямыми в проективном пространстве. Соответственно, для трёх точек $a,b,c$ лежащих на одной прямой, верно

$ab^{-1}c=cb^{-1}a$

Более того, точка $ab^{-1}c$ лежит на той же прямой и представляет собой "сумму векторов $ba$ и $bc$, если точку $b$ выбрать за нулевую", груда на прямой получается коммутативной.

Через некоторое время продолжу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение12.07.2019, 03:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2500
СПб
такой некоммутативный аналог аффинности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение12.07.2019, 04:02 
Заслуженный участник


31/12/15
884
alcoholist в сообщении #1404671 писал(а):
такой некоммутативный аналог аффинности?

Да. Там есть интересный аналог параллельности (параллелизм Клиффорда). Если сдвинуть прямую левым сдвигом, получается "левая параллель", если правым - "правая параллель". Через каждую точку проходит одна левая параллель и одна правая к данной прямой, они обычно разные, но в некоторых особых точках могут совпадать.

-- 12.07.2019, 04:18 --

Множество кватернионов $\{x\mid xx=1\}$ состоит всего из двух кватернионов $\{1,-1\}$. Совсем другое дело множество

$\{x\mid xx=-1\}$

это множество всех чисто мнимых кватернионов нормы единица. В трёхмерной сфере они образуют двухмерную сферу с центром в точке $1$ (или $-1$, как на сфере у экватора два полюса, так и тут два). При переходе к проективному пространству (факторизации по $\{1,-1\}$) получаем плоскость (проективную) чисто мнимых кватернионов, определяемую так

$\{x\mid  xx=1\wedge x\neq 1\}$

Аналогично, для любой точки $b$ определяем её "полярную плоскость" так

$\{x\mid xb^{-1}x=b\wedge x\neq b\}$

Это множество точек, лежащих от $b$ на максимальном расстоянии в "полпространства". Проективное пространство топологически устроено как шар с отождествлёнными диаметрально противоположными точками сферы, каждой точке "центру" или "полюсу" соответствует его полярная плоскость (сфера с отождествлёнными диаметрально противоположными точками, плоскость проективная).

-- 12.07.2019, 04:28 --

Рассмотрим теперь повороты. Поворот трёхмерной сферы, сохраняющий на месте точку $1$, выглядит так

$x\to axa^{-1}$

где кватернион $a$ нормы единица и лежит на оси поворота. Это поворот двухмерной сферы чисто мнимых кватернионов нормы единица вокруг центра (точки $1$). Ось поворота - это большая окружность, проходящая через $1$ и $a$ (в эллиптическом пространстве просто прямая). Все точки этой прямой при повороте остаются на месте, потому что коммутируют с $a$.

$axa^{-1}=xaa^{-1}=x$

если $x$ коммутирует с $a$.

Аналогично, поворот, сохраняющий на месте точку $b$, выглядит так (через операцию груды)

$x\to (abxb(bab))$

или, в группе, после сокращений

$x\to ab^{-1}xa^{-1}b$

Через некоторое время продолжу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение12.07.2019, 05:43 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Сообразил, что запись

$x\to (abxb(bab))$

не совсем корректная. Будем считать, что в записи вида $(abcde)$ группировка влево. На самом деле из аксиом груд выводятся такие равенства

$((abc)de)=(a(dcb)e)=(ab(cde))$

поэтому совсем убирать внутренние скобки опасно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение12.07.2019, 18:44 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Теперь собственно аксиоматика. В книге Бахмана "Построение геометрии на основе понятия симметрии"

http://gen.lib.rus.ec/search.php?req=%D ... column=def

предлагается такая система аксиом. Есть трёхмерное проективное пространство, на котором задана структура группы (есть умножение точек, выделена точка - единица группы). Рассмотрим множество точек

$J=\{x\mid xx=1\wedge x\neq 1\}$

(это плоскость мнимых кватернионов). Рассмотрим всевозможные левые сдвиги этой плоскости (множества вида $bJ$, где $b$ произвольный элемент группы). Аксиоматика утверждает, что все эти множества являются плоскостями и каждая плоскость имеет такой вид. Всё.
Что неприятно в этой аксиоматике? Наличие выделенной точки $1$ (в эллиптическом пространстве никаких выделенных точек нет, оно однородно). Поэтому перейдём от группы к груде. Предлагаю такую аксиоматику: дано трёхмерное проективное пространство, на котором задана структура груды (задана трёхместная операция на точках). Всякое множество вида

$\{x\mid (xbx)=b\wedge x\neq b\}$

является плоскостью и всякая плоскость имеет такой вид для некоторого $b$ (на самом деле единственного, что можно доказать).
Прямую, проходящую через точки $a,b$ можно задать так

$\{x\mid ax^{-1}b=bx^{-1}a\}$

(в книжке Бахмана этого нет, я сам придумал). Это множество неподвижных точек поворота

$x\to ab^{-1}xa^{-1}b$

Тут надо учесть особый случай - в эллиптическом пространстве поворот на 180 градусов имеет некоторые дополнительные неподвижные точки, кроме точек оси (потом придумаю формулу на этот случай).

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение12.07.2019, 19:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Интересно, это всё где-нибудь публикабельно? В смысле, по тематике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение12.07.2019, 19:23 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Munin в сообщении #1404792 писал(а):
Интересно, это всё где-нибудь публикабельно? В смысле, по тематике.

Не знаю, геометрические статьи я не пробовал публиковать. Собственно, хочу написать (и частично написал) программу для интерактивных геометрических построений. Геометрию выбрал эллиптическую, она проще, а картинки красивее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение12.07.2019, 20:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9853
george66 в сообщении #1404662 писал(а):
Отождествим кватернионы, отличающиеся умножением на минус единицу
А если этого не сделать все рассыплется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение12.07.2019, 20:56 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Есть маленькая надежда упростить дальше. Если рассмотреть параллельные переносы на плоскости, там можно операцию груды выразить через две двухместные операции. А именно, возьмём операцию отражения точки $A$ относительно точки $B$ (на языке груды это будет $(BAB)$) и операцию взятия середины отрезка (можно обозначить $(A+B)/2$, через операцию груды не выражается). Тогда по трём точкам $A,B,C$ можно построить четвёртую точку параллелограмма: берём середину отрезка $(A+C)/2$ и отражаем относительно неё точку $B$. В эллиптическом пространстве тоже можно брать середины отрезков, но трюк не проходит, поскольку точки $A,B,C,(ABC)$ вообще не лежат в одной плоскости (если только $A,B,C$ не лежат на одной прямой).

-- 12.07.2019, 20:59 --

Утундрий в сообщении #1404808 писал(а):
george66 в сообщении #1404662 писал(а):
Отождествим кватернионы, отличающиеся умножением на минус единицу
А если этого не сделать все рассыплется?

Содержательно, различие плюса и минуса связано с операцией сложения, а у нас её нет, только умножение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение13.07.2019, 00:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362
george66 в сообщении #1404674 писал(а):
поэтому совсем убирать внутренние скобки опасно
Просто надо помнить, что в скобке операнды на нечётных местах — «с плюсом», а на чётных «с минусом», и аналог ассоциативности как раз позволяет не бояться убрать внутренние скобки, если расставлять их потом назад, помня «типизацию».

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение13.07.2019, 14:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362
george66 в сообщении #1404674 писал(а):
На самом деле из аксиом груд выводятся такие равенства

$((abc)de)=(a(dcb)e)=(ab(cde))$
Кстати вы равенство крайних выражений среднему забыли включить в аксиомы там в первом посте. :-)

Кстати а размерность у этого пространства никак не понижается? Чтобы посмотреть на аналоги явлений глазом.

george66 в сообщении #1404672 писал(а):
Аналогично, поворот, сохраняющий на месте точку $b$, выглядит так (через операцию груды)

$x\to (abxb(bab))$

или, в группе, после сокращений

$x\to ab^{-1}xa^{-1}b$
То есть $(abxab)$, к чему можно привести и не выходя из груды параассоциативностью: $(abxbbab) = (abx(abb)b) = (abxab)$.

-- Сб июл 13, 2019 16:47:33 --

george66 в сообщении #1404786 писал(а):
Предлагаю такую аксиоматику: дано трёхмерное проективное пространство, на котором задана структура груды (задана трёхместная операция на точках). Всякое множество вида

$\{x\mid (xbx)=b\wedge x\neq b\}$

является плоскостью и всякая плоскость имеет такой вид для некоторого $b$ (на самом деле единственного, что можно доказать).
Прямую, проходящую через точки $a,b$ можно задать так

$\{x\mid ax^{-1}b=bx^{-1}a\}$
С учётом того, что вы выше заметили, да, это выглядит хорошо! :-)

-- Сб июл 13, 2019 16:48:57 --

А, чего это я про низкомерную аналогию: вот наверно взять любую плоскость и ограничиться ей. Подумаю. Я бы хотел это оклиффордовать, если лени не будет.

-- Сб июл 13, 2019 16:53:46 --

А есть ли какие-то связи с обычным трёхмерным проективным пространством?

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение13.07.2019, 15:56 
Заслуженный участник


31/12/15
884
arseniiv в сообщении #1404895 писал(а):
george66 в сообщении #1404674 писал(а):
На самом деле из аксиом груд выводятся такие равенства

$((abc)de)=(a(dcb)e)=(ab(cde))$
Кстати вы равенство крайних выражений среднему забыли включить в аксиомы там в первом посте. :-)

Выводится (проверял). Обычно включают в число аксиом, но не всегда.

-- 13.07.2019, 16:00 --

arseniiv в сообщении #1404895 писал(а):
А есть ли какие-то связи с обычным трёхмерным проективным пространством?


В книжке Бахмана очень изящно выводится теорема Паппа с помощью параллелей Клиффорда (стр.301-305).

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение13.07.2019, 16:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362
george66 в сообщении #1404898 писал(а):
Выводится (проверял). Обычно включают в число аксиом, но не всегда.
И в некоммутативном случае? Но как? :o

-- Сб июл 13, 2019 18:05:45 --

Хотя и в коммутативном тоже по идее никак, это я не ту вещь подумал.

-- Сб июл 13, 2019 18:59:17 --

Да, я неправ, это выводится через не очень много шагов через например «огруппление», для которого то дополнительное равенство нигде не нужно. Если мы оба не ошиблись в одном и том же месте, что надеюсь маловероятно.

(А именно)

Если вывести кроме аксиом группы ещё $(x * y)^{-1} = y^{-1} * x^{-1}$ и $(x^{-1})^{-1} = x$ (тут пригодится сокращение: если $(xyz) = (x'yz)$, то через подстановку $w\mapsto(wzy)$ получаем $x = x'$), и наконец что $(xyz) = x * y^{-1} * z$, то мы можем наконец-таки переставить скобки как надо.

Можно ли такое доказательство как-то сжать, кстати? Не думал. Если можно, было бы немного внезапно!

Это тут оффтоп, конечно, так что запрятал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение13.07.2019, 17:25 
Заслуженный участник


31/12/15
884
arseniiv в сообщении #1404900 писал(а):

Можно ли такое доказательство как-то сжать, кстати? Не думал. Если можно, было бы немного внезапно!

Я выводил и сжимал, но прямо сейчас не хочу.

Я пытался в обратную сторону делать: начинаем с проективного пространства, в котором верна аксиома Паппа и задан поляритет (взаимно однозначное соответствие точек и плоскостей, сохраняющее инцидентность). Поляритет должен быть эллиптическим (никакая точка не лежит на своей полярной плоскости). Можно ли определить умножение точек (или сдвиги, или параллели Клиффорда)? Кажется, можно, но адски сложно.

-- 13.07.2019, 17:29 --

arseniiv в сообщении #1404895 писал(а):
Кстати а размерность у этого пространства никак не понижается? Чтобы посмотреть на аналоги явлений глазом.

Аналоги меньшей размерности только коммутативные (обычные аффинные плоскость и прямая, окружность с группой поворотов). Плоскости в эллиптическом пространстве не замкнуты относительно операции $(abc)$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 60 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group