2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: 3-параметрическое решение диофантова уравнения
Сообщение11.07.2019, 19:42 
Заслуженный участник


20/12/10
6093
scwec в сообщении #1404414 писал(а):
А здесь желательно бы показать, что выполнены все условия задачи (попарная взаимная простота $x,y,z$ и полнота решения)
А почему бы и нет: длинный семестр у меня наконец-то закончился, и можно слегка расслабиться :) Заодно появится и решение задачи из topic60451.html (эта тема незаслуженно ушла в тень на фоне упомянутой выше темы про ВТФ-3 от Феликса Шмиделя).

Утверждение. Пусть $x^3+4v^3=y^2$, где $x$ нечётно и $\gcd{(x,v)}=1$. Тогда
$$
x=k(k^3+4l^3), \quad v=l(l^3-2k^3)
\eqno(*)
$$
для некоторых взаимно простых целых чисел $k$, $l$.

Доказательство. Положим $\theta=\sqrt[3]{2}$. Нам понадобятся следующие факты о кольце $\mathbb{Z}[\theta]$:

1. Это кольцо евклидово и, как следствие, является факториальным.
2. Единицы (обратимые элементы) этого кольца имеют вид $\varepsilon=\pm (-1+\theta)^j$, где $j \in \mathbb{Z}$.

Доказательство этих фактов я сейчас приводить не буду, но отмечу, что оно вполне элементарно (скажем, второй факт доказывается на основе техники, аналогичной той, что используется для описания всех решений классического уравнения Пелля).

Перейдём к доказательству утверждения. Рассмотрим разложение
$$
x^3+4v^3=(x+v\theta^2)(x^2-xv\theta^2+2v^2\theta).
$$
Сомножители в правой части --- числа $\alpha=x+v\theta^2$ и $\beta=x^2-xv\theta^2+2v^2\theta$ --- взаимно просты в $\mathbb{Z}[\theta]$. В самом деле, любой их общий простой делитель $\rho \in \mathbb{Z}[\theta]$ был бы делителем числа
$$
\beta-(x-2v\theta^2)\alpha=6v^2\theta,
$$
откуда $\rho$ --- делитель $6$ или $\rho$ --- делитель $v$. Ясно также, что в обоих случаях $\rho$ является делителем $y$, ибо
$$
y^2=\alpha\beta.
\eqno(**)
$$
Теперь заметим, что $\gcd{(y,6)}=1$ (очевидно, $y$ не может быть чётным; если $y$ делится на $3$, то из сравнения $x^3+4v^3 \equiv 0 \pmod{9}$ выводим $x \equiv v \equiv 0 \pmod{3}$ --- противоречие). Значит, первый случай (когда $\rho$ --- делитель $6$) невозможен. Второй случай также невозможен: иначе $\rho$ был бы делителем $x$, а тогда числа $x$ и $v$ не были бы взаимно просты.

Теперь из $(**)$ (а также на основе фактов 1 и 2) следует, что
$$
\alpha=\varepsilon(a+b\theta+c\theta^2)^2,
$$
где $a$, $b$, $c$ --- некоторые целые числа, а $\varepsilon \in \{1,-1+\theta\}$ (поскольку $\alpha\beta=y^2>0$ и $\beta>0$, имеем $\alpha>0$). Если $\varepsilon=-1+\theta$, то
$$
x=-a^2+2b^2-4bc+4ac, \quad 0=-2ab+a^2-2c^2+4bc,
$$
что невозможно, поскольку $x$ нечётно. Значит, $\varepsilon=1$ и тогда
$$
x=a^2+4bc, \quad 0=ab+c^2, \quad v=2ac+b^2.
$$
Поскольку $\gcd{(x,v)}=1$, мы имеем $\gcd{(a,b)}=1$. Теперь из равенства $c^2=-ab$ следует, что $a=k^2$, $b=-l^2$ (считая $a>0$) и $c=-kl$ для некоторых взаимно простых целых чисел $k$, $l$. Отсюда и получаются формулы $(*)$.

-- Чт июл 11, 2019 23:48:31 --

vicvolf в сообщении #1404583 писал(а):
Однородное уравнение $x^3+Ky^3=z^3$ имеет такое же решение.
Независимо от $K$? Возьмите, например, $K=6$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-параметрическое решение диофантова уравнения
Сообщение11.07.2019, 20:28 
Заслуженный участник


17/09/10
1875
nnosipov, Вы, как всегда на высоте. Исчерпывающее решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-параметрическое решение диофантова уравнения
Сообщение11.07.2019, 20:33 


18/08/14
56
Может в тему будет.
Для уравнения: ${{x}^{3}}+K\, {{y}^{3}}={{z}^{3}}$

${{\left( {{c}^{3}}-3 b\, {{c}^{2}}-6 {{b}^{2}} c-{{b}^{3}}\right) }^{3}}+b c\, \left( c+b\right) \, {{\left( 3 {{c}^{2}}+3 b c+3 {{b}^{2}}\right) }^{3}}={{\left( {{c}^{3}}+6 b\, {{c}^{2}}+3 {{b}^{2}} c-{{b}^{3}}\right) }^{3}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-параметрическое решение диофантова уравнения
Сообщение11.07.2019, 21:33 
Заслуженный участник


17/09/10
1875
Это тождество использует В. Серпинский в своей книге "О решении уравнений в целых числах" при рассмотрении уравнения $x^3+y^3=kz^3$ на стр. $65$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-параметрическое решение диофантова уравнения
Сообщение12.07.2019, 01:53 


18/08/14
56
Цитата:
Это тождество использует В. Серпинский в своей книге "О решении уравнений в целых числах" при рассмотрении уравнения $x^3+y^3=kz^3$ на стр. $65$.

Спасибо. Буду читать.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-параметрическое решение диофантова уравнения
Сообщение12.07.2019, 11:42 


23/02/12
1948
nnosipov в сообщении #1404589 писал(а):
vicvolf в сообщении #1404583 писал(а):
Однородное уравнение $x^3+Ky^3=z^3$ имеет такое же решение.
Независимо от $K$? Возьмите, например, $K=6$.
Тривиальное решение $y=0,z=x$ для уравнения $x^3+Ky^3=z^3$ существует для любого $k$. Нетривиальное целое решение для данного уравнения существует только в случаях $k=ab(a+b)/c^3$, где $a,b,c$ - целые числа, отличные от нуля (Серпинский стр. 65). Например, при $k=2$ нетривиальным решением в целых числах будет $x=y=z$, т.е. нетривиальные целые решения будут находиться на прямой и оценка их количества в кубе со стороной длины $N$ будет $O(N)$. Оценка общего количества решений данного уравнения в кубе со стороной длины $N$ будет $O(N^2)+O(N)=O(N^2)$. Таким образом, оценка общего количества решений данного уравнения при любом $k$ в кубе со стороной длины $N$ будет $O(N^2)$.
Помните, в одной теме, я давал оценку максимального числа целых (натуральных) решений не обязательно неприводимого алгебраического диофантова уравнения в гиперкубе со стороной $N$, а именно $nN^{k-1}$, где $n$ - степень уравнения, $k$ - количество переменных. Эта оценка доказывается по индукции. Например, при $k=1$ (при одной переменной) получаем, что количество решений не превосходит $n$ - степень уравнения. Данная оценка соответствует асимптотической оценке сверху $O(N^{k-1})$. В данном случае $k=3$ и данная асимптотическая оценка совпадает с оценкой количества решений нашего неприводимого алгебраического однородного диофантова уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-параметрическое решение диофантова уравнения
Сообщение12.07.2019, 12:15 
Заслуженный участник


20/12/10
6093
vicvolf в сообщении #1404704 писал(а):
Тривиальное решение $y=0,z=x$ для уравнения $x^3+Ky^3=z^3$ существует для любого $k$.
Так Вы только это имели в виду? Да уж ...
vicvolf в сообщении #1404704 писал(а):
Оценка общего количества решений данного уравнения в кубе со стороной длины $N$ будет $O(N^2)+O(N)=O(N^2)$. Таким образом, оценка общего количества решений данного уравнения при любом $k$ в кубе со стороной длины $N$ будет $O(N^2)$.
Помните, в одной теме, я давал оценку максимального числа целых (натуральных) решений не обязательно неприводимого алгебраического диофантова уравнения в гиперкубе со стороной $N$, а именно $nN^{k-1}$, где $n$ - степень уравнения, $k$ - количество переменных. Эта оценка доказывается по индукции. Например, при $k=1$ (при одной переменной) получаем, что количество решений не превосходит $n$ - степень уравнения. Данная оценка соответствует асимптотической оценке сверху $O(N^{k-1})$. В данном случае $k=3$ и данная асимптотическая оценка совпадает с оценкой количества решений нашего неприводимого алгебраического однородного диофантова уравнения.
То, что Вы здесь пишите, вообще не имеет отношения к вопросам данной темы. Еще раз Вам повторяю (как и тогда): эти банальности никому не интересны.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-параметрическое решение диофантова уравнения
Сообщение13.07.2019, 23:20 


23/02/12
1948
nnosipov в сообщении #1404709 писал(а):
То, что Вы здесь пишите, вообще не имеет отношения к вопросам данной темы.
В этой теме разговор идет о параметрических решениях диофантовых уравнений. В связи с этим возник вопрос о максимальном возможном количестве параметров в решениях диофантовых уравнений. Я думаю, что максимальное количество параметров равно $k-1$, где $k$ - количество переменных в диофантовом уравнении, и совпадает с показателем степени в оценке максимального количества целых решений - $O(N^{k-1})$. Вопрос оказался не банальным, так как есть и другие мнения.
Shadow в сообщении #1392204 писал(а):
Так что в моем решении нет лишних параметров - наоборот - не хватает. И в полном решении уравнения scwec могут быть и 7 параметров. И лишнего не будет.
Хотелось бы узнать Ваше авторитетное мнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-параметрическое решение диофантова уравнения
Сообщение14.07.2019, 11:01 
Заслуженный участник


17/09/10
1875
vicvolf, в данной теме находятся конкретные решения разных уравнений в целых и рациональных числах.
В формулировках задач речь об оценке числа решений отсутствует.
Вопрос о числе параметров возник именно у Вас.
Shadow дал разъяснения по этому поводу. Вы с ним согласились.
Обсуждать здесь этот вопрос о параметрах далее не вижу смысла (но допускаю ответы Вам по данному вопросу других участников).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 54 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group