Доказательство неравенства без исп. математической индукции

[BUKAK]

Добрый день.

У меня возникли сложности с пониманием.
Задача: доказать неравенство $n^{2}>n+1$ при $n\geqslant2$
Требование к решению: не использовать математическую индукцию

Мое решение:
Рассмотрим последовательность заданную следующим образом $x_{n}=n^{2}-(n+1)$
и исследуем ее монотонность при $n\geqslant2$.
$x_{n+1}=(n+1)^{2}-((n+1)+1)$,
$x_{n+1}-x_{n}=(n+1)^{2}-((n+1)+1)-(n^{2}-(n+1))=2n>0$.
Откуда следует, что полученная последовательность монотонно возрастает при $n\geqslant2$.
Таким образом, $x_{n} \geqslant x_{2}=4-3=1>0$.
Откуда получаем, что $x_{n}>0$ при $n\geqslant2$.
Вследствие этого получаем, что $n^{2}>n+1$ при $n\geqslant2$.
Что и требовалось доказать.

Поскольку я в математике не силен, поэтому у меня возникли сомнение, что представленное решение правомочно.
И поэтому прошу оценить правильность решения.

[Someone]

BUKAK в сообщении #1404308 писал(а):

Требование к решению: не использовать математическую индукцию

А Вы именно её и пытаетесь использовать. И это несмотря на то, что имеется алгебраическое доказательство в одну строчку.

[Connector]

Someone в сообщении #1404309 писал(а):

И это несмотря на то, что имеется алгебраическое доказательство в одну строчку.

(Спойлер)

BUKAK, Обратите внимание на то, что $n^{2}$ $=$ $(n+1)(n-1)+1$. Дальше все очень просто.

[BUKAK]

Someone в сообщении #1404309 писал(а):

BUKAK в сообщении #1404308 писал(а):

Требование к решению: не использовать математическую индукцию

А Вы именно её и пытаетесь использовать. И это несмотря на то, что имеется алгебраическое доказательство в одну строчку.

Но алгебраическое доказательство опирается на неявную индукцию, поскольку при аксиоматической построение арифметики почти все результаты об операциях сложения и умножения доказывается по индукции, включая обычные алгебраические соотношения.

И связи с этим попытался через последовательность решить, но похоже это не верно. Как решить эту задачу не понимаю, можете подсказать куда плыть?

[eugensk]

BUKAK
На случай, если непонятно.
Вы пишете: если $x_2 < x_3 < ... <x_n$, тогда $ x_2 < x_n$,
-- так вот это надо доказывать, доказывается это математической индукцией, а вам надо обойтись без неё.

BUKAK в сообщении #1404311 писал(а):

поскольку при аксиоматической построение арифметики..

Арифметика у вас уже есть, вместе с основными свойствами операций.

[BUKAK]

Правильно я понимаю, что надо решать так
$n^{2}=(n-1)(n+1)+1$
$n^{2}/(n-1)=(n+1)+1/(n-1)$
$n^{2}\geqslant n^{2}/(n-1)=(n+1)+1/(n-1)>(n+1)$

eugensk в сообщении #1404314 писал(а):

BUKAK
На случай, если непонятно.
Вы пишете: если $x_2 < x_3 < ... <x_n$, тогда $ x_2 < x_n$,
-- так вот это надо доказывать, доказывается это математической индукцией, а вам надо обойтись без неё.

В моем решение есть доказательство монотонности и мне казалась, что в этом подходе нет индукции. Или это неявная индукция?

[eugensk]

BUKAK
Что мешает вам написать:
$n^{2}=(n-1)(n+1)+1 > 1 \cdot (n+1) + 1 > n+1 $ при $n>2$, т.к. ... ?

Или, например, сравнить $(n^2 -n-1)$ и неотрицательное $(n-1)^2$ ?
К чему всё так сложно?

[ewert]

BUKAK в сообщении #1404311 писал(а):

при аксиоматической построение арифметики почти все результаты об операциях сложения и умножения доказывается по индукции, включая обычные алгебраические соотношения.

Это было давно и уже неправда. Арифметика считается уже известной.

BUKAK в сообщении #1404326 писал(а):

Правильно я понимаю, что надо решать так
$n^{2}=(n-1)(n+1)+1$
$n^{2}/(n-1)=(n+1)+1/(n-1)$
$n^{2}\geqslant n^{2}/(n-1)=(n+1)+1/(n-1)>(n+1)$

Жуть. Просто перенесите $n$ влево и вынесите за скобки.

[thething]

BUKAK
Решите, как квадратичное неравенство.

[ewert]

thething в сообщении #1404331 писал(а):

Решите, как квадратичное неравенство.

Нельзя.

[BUKAK]

eugensk

Цитата:

К чему всё так сложно?

Действительно, а я мудрю.

ewert

Цитата:

Это было давно и уже неправда. Арифметика считается уже известной.

Смотрел несколько учебников по математическому анализу Зорича или Ильина. То там эти операции вводятся аксиоматически.
И я так понял, что из этих аксиом надо аккуратно выводить все остальное, разными методами(в том числе идукция)

eugensk в сообщении #1404314 писал(а):

BUKAK

Вы пишете: если $x_2 < x_3 < ... <x_n$, тогда $ x_2 < x_n$,
-- так вот это надо доказывать, доказывается это математической индукцией, а вам надо обойтись без неё.

И один вопрос все же остался не понятным
В моем решение есть доказательство монотонности и мне казалась, что в этом подходе нет индукции. Или это неявная индукция?

[ewert]

BUKAK в сообщении #1404334 писал(а):

есть доказательство монотонности и мне казалась, что в этом подходе нет индукции.

Есть. Поскольку $n$ произвольно -- для реализации этой монотонности приходится ставить многоточие или произносить "и т.д.". Однако и то, и другое есть не что иное как жаргонная запись для индукции.

[BUKAK]

Спасибо коллеги, что помогли разобраться, теперь все встало на свои места.

[TOTAL]

BUKAK в сообщении #1404308 писал(а):

Задача: доказать неравенство $n^{2}>n+1$ при $n\geqslant2$

$n>1+\dfrac1n$
(дальше просто)

[eugensk]

TOTAL в сообщении #1404482 писал(а):

BUKAK в сообщении #1404308 писал(а):

Задача: доказать неравенство $n^{2}>n+1$ при $n\geqslant2$

$n>1+\dfrac1n$
(дальше просто)

Момент когда стучишь себя по лбу. Да и ладно, не в первый раз :)