Батороев писал(а):
maxal писал(а):
Что значит "нет смысла"? Где доказательство?
"Нет смысла" - это значит то, что, найдя решения уравнения
![$ [\frac{(m+1)(m+2)}{2}]^2 - [\frac{m(m-1)}{2}]^2 = n^2$ $ [\frac{(m+1)(m+2)}{2}]^2 - [\frac{m(m-1)}{2}]^2 = n^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/5/a45901f0e0f00026f42e40228309bb3982.png)
(1),
(1) у меня это система из двух уравнений:
![$ [\frac{(m+1)(m+2)}{2}]^2 - [\frac{m(m-1)}{2}]^2 = n^2$ $ [\frac{(m+1)(m+2)}{2}]^2 - [\frac{m(m-1)}{2}]^2 = n^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/5/a45901f0e0f00026f42e40228309bb3982.png)

Батороев писал(а):
Вы затем пытаетесь найти решения уравнения:
![$ [\frac{(m+1)(m+2)}{2}]^2 - [\frac{m(m-1)}{2}]^2 = 9a^2b^2$ $ [\frac{(m+1)(m+2)}{2}]^2 - [\frac{m(m-1)}{2}]^2 = 9a^2b^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/c/d2c4246057509a5957778ce567eaaf6482.png)
, (2)
А (2) - это тоже система:
![$ [\frac{(m+1)(m+2)}{2}]^2 - [\frac{m(m-1)}{2}]^2 = n^2$ $ [\frac{(m+1)(m+2)}{2}]^2 - [\frac{m(m-1)}{2}]^2 = n^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/5/a45901f0e0f00026f42e40228309bb3982.png)

Батороев писал(а):
при


,
т.к. приравниваете


Таким образом, уравнение (2) приобретает вид:
![$ [\frac{(m+1)(m+2)}{6}]^2 - [\frac{m(m-1)}{6}]^2 = (ab)^2 = (\frac{n}{3})^2 $ $ [\frac{(m+1)(m+2)}{6}]^2 - [\frac{m(m-1)}{6}]^2 = (ab)^2 = (\frac{n}{3})^2 $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/9/c79be052356ab4d9c2f8efe6d94118fb82.png)
, что при C, B и n, кратных 3, эквивалентно уравнению (1).
Не эквивалентно! Потому что в (1) есть уравнение (B,C)=1, которому B и C из системы (2) не удовлетворяют!
P.S. А если вы сокращаете на 9, то получаете уже совсем другие числа:

и

, которые хотя и удовлетворяют свойству (B',C')=1, но отличаются от B и C, поэтому эквивалетности нет.
P.P.S. А если в (2) явно подставить

и сократить на 9, то получится уравнение:
![$ [\frac{(3m'+2)(m'+1)}{2}]^2 - [\frac{(3m'+1)m'}{2}]^2 = \left(\frac{n}{3}\right)^2$ $ [\frac{(3m'+2)(m'+1)}{2}]^2 - [\frac{(3m'+1)m'}{2}]^2 = \left(\frac{n}{3}\right)^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/8/958e533ee4ead169407fa039da8ec35f82.png)
что опять-таки отличается от (1).
Добавлено спустя 12 минут 59 секунд:Артамонов Ю.Н. писал(а):
maxal писал(а):
Артамонов Ю.Н. писал(а):
или

, что приводит к указанному
maxalом уравнению Пелля с единственным решением

А можно увидеть доказательство единственности этого решения?
Да, это был пробел.
Можно выразить все решения этого уравнения Пелля, исходя из минимального.
Уравнение Пелля

имеет минимальные решения

.
Тогда для уравнения

все решения получаются:

(1)

(2)
Из (1) ясно, чтобы получить четную сумму нужно рассматривать только нечетные

.
Из (2) при

указанная сумма

, но

.
Поэтому, следует рассматривать только номера

, а для них вы вроде показали невозможность быть квадратом.
Нет. Соотношение между нашими решениями уравнения Пелля такое: индекс k в моем решении (то есть

) соответствует индексу n=2k+1 в вашем. Я доказал, что квадрат невозможен для всех k, не кратных 4-м. На вашем языке это означает, что нужно еще рассматривать индексы n=8k+1 и доказывать, что соответствующие члены квадратами быть не могут.