Целочисленное уравнение

[THC]

x^2=y^5+4, где x,y целые

Мне кое-что удалось доказать, но решить уравнение до конца я не смог
x^2=y^5+4 <=>(x-2)(x+2)=y^5

1) x - нечетное.
Тогда (x-2), (x+2) - два нечетных взаимно простых числа.
Значит, (x-2)=m^5 ; (x+2)=n^5
Где n,m тоже нечетные, взаимно простые числа и n*m=y
n^5-m^5= (x+2)-(x-2)=4
Однако, n^5-m^5 >= (m+2)^5-m^5 > 2^5=32. Противоречие
Т.е. если x нечетное => уравнение не имеет решения

2) x - четное.
Тогда будут 2 случая:
a) x=4k
(x-2)(x+2)=(4k-2)*(4k+2)= 4*(2k-1)*(2k+1)= y^5
Или (2k-1)*(2k+1)= 2^3*m^5 где m - целое число
Но левая часть - нечетное, а правая - четное. Опять противоречие
Значит, если x=4k уравнение тоже не имеет решения
b) x= 4k+2
В этом случае, очевидно, уравнение имеет решения:
x=6 ; y=2 и x=-6 ; y=2
Однако, я не знаю, имеются ли ещё другие решения для случая x=4k+2?
Помогите, пожалуйста

[Бодигрим]

Имеются: несложно угадать решение $(\pm2,0)$.

Добавлено спустя 1 минуту 31 секунду:

NB: не забывайте окружать формулы \$\dots\$

Добавлено спустя 13 минут 59 секунд:

В случае $x=4k+2$ уравнение сводится к $k(k+1)=2z^5$. Предположим $k$ четным. Так как $(k,k+1)=1$, то $k=2s^5$ и $k+1=t^5$. Отсюда $2s^5+1=t^5$. Это уравнение имеет лишь конечное число решений: ряд пятых степеней очень быстро возрастает - и решается перебором. В случае нечетного $k$ аналогично составим $k=s^5$, $k+1=2t^5$ и получим уравнение $s^5=2t^5-1$.

Восстанавливая, получим четыре допустимых значения $k=-2,-1,0,1$ и соответственно четыре пары решений исходного уравнения: $(-6,2),\,(-2,0),\,(2,0),\,(6,2)$.

Добавлено спустя 16 минут 29 секунд:

В вашем рассмотрении случая нечетного $x$ есть неточность: $(m+2)^5-m^5 > 2^5=32$ вообще говоря - неправда. Контрпример: $m=-1$.

[THC]

Спасибо, Бодигрим

Бодигрим писал(а):

Отсюда $2s^5+1=t^5$. Это уравнение имеет лишь конечное число решений: ряд пятых степеней очень быстро возрастает - и решается перебором.

Я тоже думаю уравнение $2s^5+1=t^5$ имеет лишь конечное число решений, но строго доказать это я не могу. Ряд пятых степеней очень быстро возрастает. Но здесь возрастают и левая и правая части и противоречия я не вижу.

Бодигрим писал(а):

В вашем рассмотрении случая нечетного $x$ есть неточность: $(m+2)^5-m^5 > 2^5=32$ вообще говоря - неправда. Контрпример: $m=-1$.

Да, была у меня неточность. Уточню:
(m+2)^5-m^5 > 2^5=32 если m нечётное и отличное от -1. А если m = -1 то уравнение всё равно не имеет решений.

[Бодигрим]

THC в сообщении #140311 писал(а):

Я тоже думаю уравнение $2s^5+1=t^5$ имеет лишь конечное число решений, но строго доказать это я не могу. Ряд пятых степеней очень быстро возрастает. Но здесь возрастают и левая и правая части и противоречия я не вижу.

Рассмотрите, с какого момента отношение хотя бы $(n+1)^5$ к $n^5$ превосходит 2.

[THC]

Бодигрим писал(а):

THC в сообщении #140311 писал(а):

Я тоже думаю уравнение $2s^5+1=t^5$ имеет лишь конечное число решений, но строго доказать это я не могу. Ряд пятых степеней очень быстро возрастает. Но здесь возрастают и левая и правая части и противоречия я не вижу.

Рассмотрите, с какого момента отношение хотя бы $(n+1)^5$ к $n^5$ превосходит 2.

Нет, это не так. Ведь отношение $(n+1)^5$ к $n^5$ стремится к 1 при n стремится к бесконечности. Значит, с некоторого момента отношение будет меньше 2

[Бодигрим]

Да, был неправ. Аж удивительно, как это меня так проглючило.

Добавлено спустя 2 часа 19 минут 13 секунд:

Я тут полистал Дэвенпорт Г. — Высшая арифметика. Введение в теорию чисел, 7.6 Теорема Туэ-Зигеля-Рота. Мы имеем однородную форму $f(s,t)=2s^5-t^5$ с $\deg f=5\ge3$. Она неприводима - иначе уравнение $2(s/t)^5=1$ имело бы рациональные решения, а корень 5-й степени из 2 - иррационален. Далее, положим $g(s,t)=1$, $\deg g=0$. При таких условиях (как говорится в упомянутой выше книге) уравнение $f(s,t)=g(s,t)$ (т. е. $2s^5-t^5=1$) имеет только конечное число решений. Правда теорема Туэ-Зигеля-Рота ничего не говорит о том, сколько их в действительности и как их искать.

А вот статья про диофантовы уравнения 5-й степени. В ней, например, говорится: "No solutions to the 5.2.2 equation $A^5+B^5=C^5+D^5$ (27) are known, despite the fact that sums up to $1.02\times10^{26}$ have been checked (Guy 1994, p. 140)". Я так понимаю, что здесь речь идет о нетривиальных решениях? Впрочем, я не понял, на что ссылается номер 5.2.2.

[Батороев]

Если $ y^5 = x^2 - 2^2 $, то может быть рассмотреть случаи, когда число может быть представлено в виде разности двух квадратов?
К примеру, при натуральных нечетных $y$ делители числа $ y^5 = ab $ (где $ a $ и $ b $ - максимально близкие друг к другу делители) должны отличаться на $ 4 $.
Что вроде бы, невозможно (для нечетных натуральных $y$).

[maxal]

Бодигрим писал(а):

При таких условиях (как говорится в упомянутой выше книге) уравнение $f(s,t)=g(s,t)$ (т. е. $2s^5-t^5=1$) имеет только конечное число решений. Правда теорема Туэ-Зигеля-Рота ничего не говорит о том, сколько их в действительности и как их искать.

Есть алгоритм поиска всех решений - например, в PARI/GP оно решается так:

? T=thueinit(x^5-2); thue(T,-1)
%1 = [[1, 1], [-1, 0]]

То есть, все решения - это $(s,t)=(1,1)$ и $(0,-1).$

Бодигрим писал(а):

А вот статья про диофантовы уравнения 5-й степени. В ней, например, говорится: "No solutions to the 5.2.2 equation $A^5+B^5=C^5+D^5$ (27) are known, despite the fact that sums up to $1.02\times10^{26}$ have been checked (Guy 1994, p. 140)". Я так понимаю, что здесь речь идет о нетривиальных решениях? Впрочем, я не понял, на что ссылается номер 5.2.2.

5.2.2 описывает тип уравнения: первое число - это степень, второе - число членов слева равенства, третье - число членов справа равенства. То есть 5.2.2 - это уравнение вида $a^5+b^5=c^5+d^5$.