Да, был неправ. Аж удивительно, как это меня так проглючило.
Добавлено спустя 2 часа 19 минут 13 секунд:
Я тут полистал
Дэвенпорт Г. — Высшая арифметика. Введение в теорию чисел, 7.6 Теорема Туэ-Зигеля-Рота. Мы имеем однородную форму

с

. Она неприводима - иначе уравнение

имело бы рациональные решения, а корень 5-й степени из 2 - иррационален. Далее, положим

,

. При таких условиях (как говорится в упомянутой выше книге) уравнение

(т. е.

) имеет только конечное число решений. Правда теорема Туэ-Зигеля-Рота ничего не говорит о том, сколько их в действительности и как их искать.
А вот
статья про диофантовы уравнения 5-й степени. В ней, например, говорится: "No solutions to the 5.2.2 equation

(27) are known, despite the fact that sums up to

have been checked (Guy 1994, p. 140)". Я так понимаю, что здесь речь идет о нетривиальных решениях? Впрочем, я не понял, на что ссылается номер 5.2.2.