Тригонометрические функции кратного аргумента

[Roman_T]

Упражнение из Куранта и Робинса по формуле де Муавра.
Напишите формулы для $\sin4\varphi$ и $\cos4\varphi$.
И ранее сказано что: "Подобного рода формулы, выражающие $\sin n\varphi$ и $\cos n\varphi$ соответственно через $\sin\varphi$ и $\cos\varphi$, легко получить при каком угодно целом значении $n$."

С косинусом все получается хорошо: $\cos4\varphi=8(\cos^4\varphi-\cos^2\varphi)+1$.
С синусом получаем $\sin4 \varphi=4\sin\varphi\cos\varphi(1-2\sin^2\varphi)$.

Как нам убрать косинус из правой части? Чтобы выразить $\sin4\varphi$ через $\sin\varphi$.

Можно написать так: $\sin4 \varphi=\pm4\sin\varphi\sqrt{1-\sin^2\varphi}(1-2\sin^2\varphi)$. Но нет ли более красивого решения?

[DeBill]

Roman_T в сообщении #1404101 писал(а):

Как нам убрать косинус из правой части?

Никак. И это можно углядеть, напр., из такких рассуждений: увеличим аргумент на четверть периода. Слева выражение не изменитсь, а если б справа были токо синусы, то теперь там будут одни лишь косинусы; противоречие с нечетностью-четностью...Отметим, что в случае, когда число 4 нечетно, это рассуждение не проходит.

[TOTAL]

Roman_T в сообщении #1404101 писал(а):

Можно написать так: $\sin4 \varphi=\pm4\sin\varphi\sqrt{1-\sin^2\varphi}(1-2\sin^2\varphi)$. Но нет ли более красивого решения?

Вот более красивое
$\sin4 \varphi=\sin\varphi \sin(\pi/2-\varphi) (1-2\sin^2\varphi)$

[Roman_T]

Получается утверждение из книги

Roman_T в сообщении #1404101 писал(а):

"Подобного рода формулы, выражающие $\sin n\varphi$ и $\cos n\varphi$ соответственно через $\sin\varphi$ и $\cos\varphi$, легко получить при каком угодно целом значении $n$."

не верно?
Если только не убрать слово "соответственно".

[TOTAL]

Roman_T в сообщении #1404147 писал(а):

Получается утверждение из книги

Roman_T в сообщении #1404101 писал(а):

"Подобного рода формулы, выражающие $\sin n\varphi$ и $\cos n\varphi$ соответственно через $\sin\varphi$ и $\cos\varphi$, легко получить при каком угодно целом значении $n$."

не верно?
Если только не убрать слово "соответственно".

Это утверждение сначала не верное потому, что в нем не определено "Подобного рода"

[Евгений Машеров]

DeBill в сообщении #1404109 писал(а):

Отметим, что в случае, когда число 4 нечетно, это рассуждение не проходит.

Если число 4 нечётно - проходит всё!

Roman_T в сообщении #1404147 писал(а):

Получается утверждение из книги

Roman_T в сообщении #1404101 писал(а):

"Подобного рода формулы, выражающие $\sin n\varphi$ и $\cos n\varphi$ соответственно через $\sin\varphi$ и $\cos\varphi$, легко получить при каком угодно целом значении $n$."

не верно?
Если только не убрать слово "соответственно".

Отчего же неверно? Верно, только не надо понимать его расширительно. Выражаем конструкцией с квадратным корнем - кто воспретит?

[TOTAL]

Цитата:

"Подобного рода формулы, выражающие $\sin n\varphi$ и $\cos n\varphi$ соответственно через $\sin\varphi$ и $\cos\varphi$, легко получить при каком угодно целом значении $n$

Предлагаю толкование:
При каком угодно целом значении $n$ можно вычислить $\sin n\varphi$ или $\cos n\varphi$ только с помощью $\sin\varphi$ или только с помощью $\cos\varphi$.

[Roman_T]

TOTAL в сообщении #1404272 писал(а):

Это утверждение сначала не верное потому, что в нем не определено "Подобного рода"

Наверно мне с начала нужно было чуть больше процитировать книгу. Этому утверждению предшествует вывод формул:
$\cos3\varphi=4\cos^3\varphi-3\cos\varphi$
$\sin3\varphi=-4\sin^3\varphi+3\sin\varphi$
И далее "Подобного рода формулы..."

TOTAL в сообщении #1404297 писал(а):

Предлагаю толкование:
При каком угодно целом значении $n$ можно вычислить $\sin n\varphi$ или $\cos n\varphi$ только с помощью $\sin\varphi$ или только с помощью $\cos\varphi$.

Я изначально исходил из этого толкования.

Евгений Машеров в сообщении #1404285 писал(а):

Выражаем конструкцией с квадратным корнем - кто воспретит?

Согласен.

[ewert]

TOTAL в сообщении #1404297 писал(а):

При каком угодно целом значении $n$ можно вычислить $\sin n\varphi$ или $\cos n\varphi$ только с помощью $\sin\varphi$ или только с помощью $\cos\varphi$.

Ну например можно попытаться выразить $\sin2x$ только через $\cos x$ или $\sin x$

[arseniiv]

Можно ещё посмотреть что там в оригинале, есть ли то «соответственно».

[Roman_T]

arseniiv в сообщении #1404366 писал(а):

Можно ещё посмотреть что там в оригинале, есть ли то «соответственно».

В оригинале так:

Similar formulas, expressing $\sin n\varphi$ and $\cos n\varphi$ in terms of powers of
$\sin\varphi$ and $\cos\varphi$ respectively, can easily be obtained for any value of n.

[TOTAL]

ewert в сообщении #1404332 писал(а):

TOTAL в сообщении #1404297 писал(а):

При каком угодно целом значении $n$ можно вычислить $\sin n\varphi$ или $\cos n\varphi$ только с помощью $\sin\varphi$ или только с помощью $\cos\varphi$.

Ну например можно попытаться выразить $\sin2x$ только через $\cos x$ или $\sin x$

При $n=2$ можно выразить $\cos2x$ только через $\cos x$, а также только через $\sin x$. Это имелось в виду. Т.е. при любом $n$ где-то пригодится косинус и где-то синус. Но $\sin nx$ оказывается обделенным, ему то одно выраэжение, то ни одного. А косинусу то одно, то сразу два.

[Roman_T]

Спасибо всем за помощь!