2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Тригонометрические функции кратного аргумента
Сообщение09.07.2019, 11:35 


13/06/19
37
Упражнение из Куранта и Робинса по формуле де Муавра.
Напишите формулы для $\sin4\varphi$ и $\cos4\varphi$.
И ранее сказано что: "Подобного рода формулы, выражающие $\sin n\varphi$ и $\cos n\varphi$ соответственно через $\sin\varphi$ и $\cos\varphi$, легко получить при каком угодно целом значении $n$."

С косинусом все получается хорошо: $\cos4\varphi=8(\cos^4\varphi-\cos^2\varphi)+1$.
С синусом получаем $\sin4 \varphi=4\sin\varphi\cos\varphi(1-2\sin^2\varphi)$.

Как нам убрать косинус из правой части? Чтобы выразить $\sin4\varphi$ через $\sin\varphi$.

Можно написать так: $\sin4 \varphi=\pm4\sin\varphi\sqrt{1-\sin^2\varphi}(1-2\sin^2\varphi)$. Но нет ли более красивого решения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические функции кратного аргумента
Сообщение09.07.2019, 12:17 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Roman_T в сообщении #1404101 писал(а):
Как нам убрать косинус из правой части?

Никак. И это можно углядеть, напр., из такких рассуждений: увеличим аргумент на четверть периода. Слева выражение не изменитсь, а если б справа были токо синусы, то теперь там будут одни лишь косинусы; противоречие с нечетностью-четностью...Отметим, что в случае, когда число 4 нечетно, это рассуждение не проходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические функции кратного аргумента
Сообщение09.07.2019, 12:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Roman_T в сообщении #1404101 писал(а):
Можно написать так: $\sin4 \varphi=\pm4\sin\varphi\sqrt{1-\sin^2\varphi}(1-2\sin^2\varphi)$. Но нет ли более красивого решения?

Вот более красивое
$\sin4 \varphi=\sin\varphi  \sin(\pi/2-\varphi)     (1-2\sin^2\varphi)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические функции кратного аргумента
Сообщение09.07.2019, 16:06 


13/06/19
37
Получается утверждение из книги
Roman_T в сообщении #1404101 писал(а):
"Подобного рода формулы, выражающие $\sin n\varphi$ и $\cos n\varphi$ соответственно через $\sin\varphi$ и $\cos\varphi$, легко получить при каком угодно целом значении $n$."

не верно?
Если только не убрать слово "соответственно".

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические функции кратного аргумента
Сообщение10.07.2019, 05:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Roman_T в сообщении #1404147 писал(а):
Получается утверждение из книги
Roman_T в сообщении #1404101 писал(а):
"Подобного рода формулы, выражающие $\sin n\varphi$ и $\cos n\varphi$ соответственно через $\sin\varphi$ и $\cos\varphi$, легко получить при каком угодно целом значении $n$."

не верно?
Если только не убрать слово "соответственно".

Это утверждение сначала не верное потому, что в нем не определено "Подобного рода"

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические функции кратного аргумента
Сообщение10.07.2019, 08:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
DeBill в сообщении #1404109 писал(а):
Отметим, что в случае, когда число 4 нечетно, это рассуждение не проходит.


Если число 4 нечётно - проходит всё! :mrgreen:


Roman_T в сообщении #1404147 писал(а):
Получается утверждение из книги
Roman_T в сообщении #1404101 писал(а):
"Подобного рода формулы, выражающие $\sin n\varphi$ и $\cos n\varphi$ соответственно через $\sin\varphi$ и $\cos\varphi$, легко получить при каком угодно целом значении $n$."

не верно?
Если только не убрать слово "соответственно".


Отчего же неверно? Верно, только не надо понимать его расширительно. Выражаем конструкцией с квадратным корнем - кто воспретит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические функции кратного аргумента
Сообщение10.07.2019, 10:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Цитата:
"Подобного рода формулы, выражающие $\sin n\varphi$ и $\cos n\varphi$ соответственно через $\sin\varphi$ и $\cos\varphi$, легко получить при каком угодно целом значении $n$

Предлагаю толкование:
При каком угодно целом значении $n$ можно вычислить $\sin n\varphi$ или $\cos n\varphi$ только с помощью $\sin\varphi$ или только с помощью $\cos\varphi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические функции кратного аргумента
Сообщение10.07.2019, 12:50 


13/06/19
37
TOTAL в сообщении #1404272 писал(а):
Это утверждение сначала не верное потому, что в нем не определено "Подобного рода"

Наверно мне с начала нужно было чуть больше процитировать книгу. Этому утверждению предшествует вывод формул:
$\cos3\varphi=4\cos^3\varphi-3\cos\varphi$
$\sin3\varphi=-4\sin^3\varphi+3\sin\varphi$
И далее "Подобного рода формулы..."

TOTAL в сообщении #1404297 писал(а):
Предлагаю толкование:
При каком угодно целом значении $n$ можно вычислить $\sin n\varphi$ или $\cos n\varphi$ только с помощью $\sin\varphi$ или только с помощью $\cos\varphi$.

Я изначально исходил из этого толкования.

Евгений Машеров в сообщении #1404285 писал(а):
Выражаем конструкцией с квадратным корнем - кто воспретит?

Согласен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические функции кратного аргумента
Сообщение10.07.2019, 14:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
TOTAL в сообщении #1404297 писал(а):
При каком угодно целом значении $n$ можно вычислить $\sin n\varphi$ или $\cos n\varphi$ только с помощью $\sin\varphi$ или только с помощью $\cos\varphi$.

Ну например можно попытаться выразить $\sin2x$ только через $\cos x$ или $\sin x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические функции кратного аргумента
Сообщение10.07.2019, 16:32 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Можно ещё посмотреть что там в оригинале, есть ли то «соответственно».

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические функции кратного аргумента
Сообщение10.07.2019, 17:15 


13/06/19
37
arseniiv в сообщении #1404366 писал(а):
Можно ещё посмотреть что там в оригинале, есть ли то «соответственно».

В оригинале так:

Similar formulas, expressing $\sin n\varphi$ and $\cos n\varphi$ in terms of powers of
$\sin\varphi$ and $\cos\varphi$ respectively, can easily be obtained for any value of n.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические функции кратного аргумента
Сообщение11.07.2019, 08:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
ewert в сообщении #1404332 писал(а):
TOTAL в сообщении #1404297 писал(а):
При каком угодно целом значении $n$ можно вычислить $\sin n\varphi$ или $\cos n\varphi$ только с помощью $\sin\varphi$ или только с помощью $\cos\varphi$.

Ну например можно попытаться выразить $\sin2x$ только через $\cos x$ или $\sin x$

При $n=2$ можно выразить $\cos2x$ только через $\cos x$, а также только через $\sin x$. Это имелось в виду. Т.е. при любом $n$ где-то пригодится косинус и где-то синус. Но $\sin nx$ оказывается обделенным, ему то одно выраэжение, то ни одного. А косинусу то одно, то сразу два.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические функции кратного аргумента
Сообщение12.07.2019, 08:51 


13/06/19
37
Спасибо всем за помощь!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group