Сопряженное пространство. Пример из Кострикина

[jaroslaw]

Пример. Пусть $V=P_n=\left\langle 1,t,...,t-1\right\rangle$. Отображение $f_{a}:\varphi\to\varphi(a)$ ставить каждому многочлену его значение в точке $a$. Меняя $a$,мы можем получить, некоторый базис двойственного пространства $V^*$.
Отображение $f_{a}$ линейно относительно аргумента $\varphi$$\in$V$, но сами такие отображения относительно сложения нелинейны и операция сложения не замкнута. Получается, что данные функционалы линейного пространства не образуют? Где я могу ошибаться?

[Someone]

jaroslaw в сообщении #1403936 писал(а):

Где я могу ошибаться?

Э-э-э… Ошибаться в чём?

[vpb]

Наверное, все-таки $\langle 1,t,\ldots, t^{n-1}\rangle$.
И в задаче не утверждается, что отображения $f_a$ образуют пространство. Каждое такое отображение --- элемент сопряженного пространства $V^\ast$, но множество всех таких отображений --- не подпространство в $V^\ast$.

[arseniiv]

jaroslaw
Кстати если бы вы просто поискали базис, двойственный к $(1,t,\ldots,t^{n-1})$, вы бы нашли полезные функции, выдающие коэффициенты при выбранной степени переменной. В некоторых местах, где они пригождаются, их обозначают приписыванием слева от многочлена этого самого $t^m$ в скобках: например, $[x^2](x^6 + 5x^2 + 8) = 5$.

И вот этот кусок

jaroslaw в сообщении #1403936 писал(а):

но сами такие отображения относительно сложения нелинейны

немножко бессмысленный. Функция может быть линейной по разным своим аргументам, и всё. Вот если считать $a$ ещё одним аргументом в $f_a$, по нему она нелинейна, да. Но этого для $f_a\in V^*$ и не требуется.