2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сопряженное пространство. Пример из Кострикина
Сообщение08.07.2019, 16:13 
Пример. Пусть $V=P_n=\left\langle 1,t,...,t-1\right\rangle$. Отображение $f_{a}:\varphi\to\varphi(a)$ ставить каждому многочлену его значение в точке $a$. Меняя $a$,мы можем получить, некоторый базис двойственного пространства $V^*$.
Отображение $f_{a}$ линейно относительно аргумента $\varphi$$\in$V$, но сами такие отображения относительно сложения нелинейны и операция сложения не замкнута. Получается, что данные функционалы линейного пространства не образуют? Где я могу ошибаться?

 
 
 
 Re: Сопряженное пространство. Пример из Кострикина
Сообщение08.07.2019, 16:45 
Аватара пользователя
jaroslaw в сообщении #1403936 писал(а):
Где я могу ошибаться?
Э-э-э… Ошибаться в чём?

 
 
 
 Re: Сопряженное пространство. Пример из Кострикина
Сообщение08.07.2019, 16:57 
Наверное, все-таки $\langle 1,t,\ldots, t^{n-1}\rangle$.
И в задаче не утверждается, что отображения $f_a$ образуют пространство. Каждое такое отображение --- элемент сопряженного пространства $V^\ast$, но множество всех таких отображений --- не подпространство в $V^\ast$.

 
 
 
 Re: Сопряженное пространство. Пример из Кострикина
Сообщение08.07.2019, 17:10 
jaroslaw
Кстати если бы вы просто поискали базис, двойственный к $(1,t,\ldots,t^{n-1})$, вы бы нашли полезные функции, выдающие коэффициенты при выбранной степени переменной. В некоторых местах, где они пригождаются, их обозначают приписыванием слева от многочлена этого самого $t^m$ в скобках: например, $[x^2](x^6 + 5x^2 + 8) = 5$.

И вот этот кусок
    jaroslaw в сообщении #1403936 писал(а):
    но сами такие отображения относительно сложения нелинейны
немножко бессмысленный. Функция может быть линейной по разным своим аргументам, и всё. Вот если считать $a$ ещё одним аргументом в $f_a$, по нему она нелинейна, да. Но этого для $f_a\in V^*$ и не требуется.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group