разные доказательства бесконечности простых чисел

[Yury_rsn]

Извините, если вопрос не в том разделе задаю. Еще не освоился на форуме.

Я в одной из веток спросил про возможность доказательства бесконечности простых числе с помощью решета Эратосфена. Как я понял из ответов - такого доказательства нет.

Вопрос - а какие вообще есть различные доказательства бесконечности простых, кроме Эвклида и Эйлера?
Где можно про них почитать?

[Booker48]

Айгнер, Циглер "Доказательства из Книги".
Там их штук 6.

[Yury_rsn]

Booker48 в сообщении #1402815 писал(а):

Айгнер, Циглер "Доказательства из Книги".
Там их штук 6.

Спасибо!

[a1981]

125 доказательств бесконечности простых

[Yury_rsn]

a1981 в сообщении #1402925 писал(а):

125 доказательств бесконечности простых

Спасибо

[Yury_rsn]

Посмотрел ссылки, и еще сам поискал.
Меня интересует всё-таки привязка к доказательству бесконечности простых метода Эратосфена.

Вот в Википедии https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... %B4%D0%B0#Пинаско

дано доказательство Пинаско (где-то в середине страницы)
Вроде бы там используются комбинаторные формулы, которые обычно в методах решета применяются.

И .. там нет ошибки, случайно?

[Dmitriy40]

Yury_rsn в сообщении #1402982 писал(а):

Меня интересует всё-таки привязка к доказательству бесконечности простых метода Эратосфена.

А чем Вам не подходит доказательство Евклида? Оно прямо связано с решетом Эратосфена: указанное Евклидом простое точно не будет вычеркнуто решетом Эратосфена (как и множество других разумеется) просто по построению решета.

[Yury_rsn]

Dmitriy40 в сообщении #1403005 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1402982 писал(а):

Меня интересует всё-таки привязка к доказательству бесконечности простых метода Эратосфена.

А чем Вам не подходит доказательство Евклида?
Оно прямо связано с решетом Эратосфена: указанное Евклидом простое точно не будет вычеркнуто решетом Эратосфена (как и множество других разумеется) просто по построению решета.

Честно говоря, Евклидово доказательство вообще из другой оперы. Оно мультипликативно.
А метод Эратосфена больше относится к аддитивным свойствам чисел.
Понятно, что там неявно присутствует умножение, но все-таки.

[arseniiv]

Решето-то Эратосфена аддитивно? По-моему здесь словесная игра.

[Yury_rsn]

arseniiv в сообщении #1403050 писал(а):

Решето-то Эратосфена аддитивно? По-моему здесь словесная игра.

Ок. Тут спорный вопрос.
Сложение и умножение - связанные сущности.
Если пять раз к пяти прибавить пять, то это будет тоже самое, что пятью пять

Сложность простых чисел, насколько известно, в том и состоит, что их природа вполне мультипликативна. Они участвуют в разложении числа на множители.
А самые интересные задачи связаны с их сложением или разностями. Проблема Гольдбаха, проблема близнецов, и т.д.
Я примерно это имел в виду.

[arseniiv]

Но как в этом поможет решето Эратосфена?..

[Yury_rsn]

arseniiv в сообщении #1403065 писал(а):

Но как в этом поможет решето Эратосфена?..

есть идея такого доказательства.
Хотелось увидеть, не было ли такого раньше.

И оно такое простенькое получается.
Во времена Эратосфена вполне могли доказать бы.
Но, наверное, после Евклида никому в голову тогда не пришло искать другое доказательство.

Надо проверить внимательнее.

xбaоbяcнdжeуu

[mihiv]

Yury_rsn в сообщении #1402982 писал(а):

Вот в Википедии https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... %B4%D0%B0#Пинаско

дано доказательство Пинаско (где-то в середине страницы)

Так это и есть доказательство с помощью решета Эратосфена.

[Yury_rsn]

mihiv в сообщении #1403536 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1402982 писал(а):

Вот в Википедии https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... %B4%D0%B0#Пинаско

дано доказательство Пинаско (где-то в середине страницы)

Так это и есть доказательство с помощью решета Эратосфена.

Не совсем. Там ни разу не упоминаются слова "решето" и "Эратосфен". Шутка

А если серьезно, действительно есть некоторые различия. В основном, условно говоря, "идеологогические", с разных сторон как бы смотрим на процесс вычеркивания.

Решето строится от самых первых чисел, и продвигается вперед, к бесконечности.
А комбинаторное доказательство начинается с задания в середине ряда некоего числа "х", и просто подсчитывается количество "вычеркнутых чисел" - кратных всем простым числам, меньшим "х".
Да, количество вычеркнутых, меньших какого-то "х", и в том, и в другом методе совпадает.
Но у Эратосфена мы видим процесс как бы от нуля - и в сторону бесконечности.
А у Пинаско, когда мы устремляем "х" на возрастание, - мы смотрим на процесс с другой стороны. Со стороны бесконечности

И это не игра слов.
К чему приводит разный взгляд на этот процесс, можно увидеть по ответам в другой ветке форума, где мне отвечали на аналогичный вопрос про доказательство бесконечности простых методом Эратосфена

mihaild в сообщении #1402602 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1402598 писал(а):

А разве из метода построения решета Эратосфена нельзя увидеть бесконечность простых чисел?

А как? Вдруг после очередного простого все числа окажутся вычеркнуты?

eugensk в сообщении #1403348 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1402700 писал(а):

вроде бы интуитивно очевидно, что простые числа будут постоянно возникать в методе решета

Наверное, это очевидно только потому, что вы уже знаете ответ.
...

[mihiv]

Yury_rsn

Если предположить, что число простых чисел конечно, то можно выбрать некоторое число x больше наибольшего простого числа. Доказательство Пинаско как раз показывает, что в этом предположении при достаточно большом x не могут быть вычеркнуты все числа $<x$.