3-параметрическое решение диофантова уравнения

[vicvolf]

Двухпараметрическое тождество получается умножением каждой части однопараметрического на $t^6$. Спасибо.

[scwec]

Но такой ответ не годится, если 1-параметрическое решение само было получено этим способом, как, например, приведенное мной.
Имелся в виду более серьезный ответ, например,
$u=-4{p^3}{q}+4q^4$,
$v=p^4+8pq^3$,
$z=(-2q^2-2pq+p^2)(4q^4-4pq^3+6p^2{q^2}+2p^3{q}+p^4)$
Существуют и другие варианты.

[scwec]

А вот уравнение $z^2=x^3+4y^3$, где $x,y,z$ попарно взаимно простые целые числа ,более благодарно.
Имеется общее решение его, которое предлагается найти.

[vicvolf]

scwec в сообщении #1392300 писал(а):

Одно замечание.
Уравнение $x^2+y^2+z^2=u^2+v^2$ приводится к уравнению в Вейерштрассовой форме для семейства эллиптических кривых $E_{z,u,v}: W^2=U^3-\frac{27}{4}(v^3-z^3+u^3)^2$
.

Дайте, пожалуйста, ссылку на приведение к Вейерштрассовой форме? Интересует не сама теорема, а пример. Смотрю Степанова стр. 114. Не понятно, как находятся a и b в форме через коэффициенты исходного уравнения. Имеется ли ли общая формула?

[scwec]

Чтобы найти Вейерштрассову форму уравнения эллиптической кривой используйте Maple. Это проще всего.
Для уравнения $x^3+y^3+z^3=u^3+v^3$ в Maple нужна следующая комбинация из трех строк

> with(algcurves)
> f := x^3+y^3+z^3-u^3-v^3
> V := Weierstrassform(f,x,y,U,W)

Ручное нахождение В/формы, даже если известна рациональная точка на кривой, затратно и не эффективно.

[vicvolf]

scwec в сообщении #1403485 писал(а):

А вот уравнение $z^2=x^3+4y^3$, где $x,y,z$ попарно взаимно простые целые числа ,более благодарно.
Имеется общее решение его, которое предлагается найти.

Разделим уравнение почленно на $z^3$ и получим $a^3+4b^3=1$, где $a=x/z,b=y/z$. Данное уравнение имеет рациональное решение $a=1, b=0$. Сделаем замену переменных $a=u+1$ и получим $u^3+3u^2+3u+4b^3=0$. Положим $b=tu$ и получим уравнение $u(u^2+3u+3+4t^3u^2)=0$. Решение $u=0$ соответствует первому решению $a=1,b=0$. Из второго квадратного относительно u уравнения получаем второе и третье решение $u_2,u_3$. Этим решениям соответствуют $ a_2=u_2+1,b_2=tu_2$ и $a_3=u_3+1,b_3=tu_3$. Возвращаясь к решениям исходного уравнения , первое решение можно записать в виде $z=x,y=0$. Учитывая, что в знаменателе решения квадратного уравнения стоит $ 8t^2+2$ и с целью сокращения записи запишем второе решение в виде $x_2=A_2(t),y_2=B_2(t)t,z_2=8t^2+2$. Доказать, что $ A_2(t),B_2(t)$ рациональны не получилось. Аналогичные выражения получаются и для третьего решения.

[scwec]

vicvolf в сообщении #1404089 писал(а):

Разделим уравнение почленно на $z^3$ и получим $a^3+4b^3=1$, где $a=x/z,b=y/z$

Но в левой части уравнения $z^2$, а не $z^3$.

[vicvolf]

scwec в сообщении #1404140 писал(а):

Но в левой части уравнения $z^2$, а не $z^3$.

Тогда понятно, почему я не получил рационального решения

[nnosipov]

scwec в сообщении #1403485 писал(а):

А вот уравнение $z^2=x^3+4y^3$, где $x,y,z$ попарно взаимно простые целые числа, более благодарно.
Имеется общее решение его, которое предлагается найти.

См. стр. 235 в книге Mordell L.J. Diophantine equations. London: Academic Press Inc., 1969.

Впервые здесь (на dxdy) этот сюжет возник в (единственной успешной за всю историю форума) теме про ВТФ-3, уже довольно давно. Искать эту тему мне лень, но я помню имя ферматиста: Феликс Шмидель. Коротко: вывод формул для решений основан на факториальности кольца $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$. Вообще, сюжет мне нравится, вот собираюсь написать очередную статью для "Математического просвещения". Но не уверен, удастся ли собраться этим летом (какое-то оно короткое в этом году).

-- Ср июл 10, 2019 13:06:15 --

vicvolf в сообщении #1404089 писал(а):

Доказать, что $ A_2(t),B_2(t)$ рациональны не получилось.

И не могло получиться в принципе: кривая $a^3+4b^3=1$ не является рациональной (она эллиптическая). Более того, на ней нет других рациональных точек, кроме $(a,b)=(1,0)$ (это доказывается методом бесконечного спуска --- как ВТФ-3).

[vicvolf]

scwec в сообщении #1403485 писал(а):

А вот уравнение $z^2=x^3+4y^3$, где $x,y,z$ попарно взаимно простые целые числа ,более благодарно.
Имеется общее решение его, которое предлагается найти.

Морделл рассматривает даже боле общий случай сто. 150 Классические диофантовы уравнения в.монографии В. Г. Спринджук.

-- 10.07.2019, 10:25 --

nnosipov в сообщении #1404284 писал(а):

vicvolf в сообщении #1404089 писал(а):

Доказать, что $ A_2(t),B_2(t)$ рациональны не получилось.

И не могло получиться в принципе: кривая $a^3+4b^3=1$ не является рациональной (она эллиптическая). Более того, на ней нет других рациональных точек, кроме $(a,b)=(1,0)$ (это доказывается методом бесконечного спуска --- как ВТФ-3).

Спасибо. Я не знал, то это уравнение имеет.только одно рациональное решение. Но когда пробовал доказать рациональность остальных решений, то понял, что это не так. Если не знаешь заранее, то по другому не получится. Сначала должна родиться гипотеза, а потом уже думаешь о методе ее доказательства.

[vicvolf]

Хотя мог бы догадаться, что уравнение Туэ 3 степени имеет конечное число решений, поэтому искать параметрические решения не имеет смысла.

[scwec]

nnosipov в сообщении #1404284 писал(а):

См. стр. 235 в книге Mordell L.J. Diophantine equations. London: Academic Press Inc., 1969.
Впервые здесь (на dxdy) этот сюжет возник в (единственной успешной за всю историю форума) теме про ВТФ-3, уже довольно давно. Искать эту тему мне лень, но я помню имя ферматиста: Феликс Шмидель. Коротко: вывод формул для решений основан на факториальности кольца $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$.

Верно, задача приехала сюда из книги Морделла со стр.235.
И упоминание на форуме о ней уже, оказывается было с отсылкой к первоисточнику - статье C.Georgikopoulous.
Довольно быстро нашлось https://dxdy.ru/post620903.html. Быстро время летит.

vicvolf в сообщении #1404304 писал(а):

Хотя мог бы догадаться, что уравнение Туэ 3 степени имеет конечное число решений, поэтому искать параметрические решения не имеет смысла.

Вы ошибаетесь, каждое уравнение $z^3=x^3+Ny^3$ (аналогичное уравнению $z^3=x^3+4y^3$ ) при $N=6,7,9,12,13,15,17,19,20,22,26...$ имеет бесконечно много нетривиальных рациональных и целых решений.

[AlexSam]

Цитата:

А вот уравнение $z^2=x^3+4y^3$, где $x,y,z$ попарно взаимно простые целые числа ,более благодарно.
Имеется общее решение его, которое предлагается найти.

Получился такой вариант
$q=4
$w=1

$\[{{b}^{3}} q\, {{\left( 8 {{c}^{3}} w+{{b}^{3}} q\right) }^{3}}+64 {{c}^{3}} w\, {{\left( {{c}^{3}} w-{{b}^{3}} q\right) }^{3}}={{\left( 8 {{c}^{6}}\, {{w}^{2}}+20 {{b}^{3}}\, {{c}^{3}} q w-{{b}^{6}}\, {{q}^{2}}\right) }^{2}}\]$

[scwec]

Из приведенных формул AlexSam извлекается верное решение уравнения $z^2=x^3+4y^3$, а именно
$x=p(p^3+4q^3), y=q(q^3-2p^3),z=\pm(p^6-10p^3{q^3}-2q^6)$ (обозначения $p,q$ Морделловские).
Кстати, у Морделла на 235 стр. неверна формула для $x$ - нет коэффициента $4$ при $q^3$.
Скорее всего опечатка.
А здесь желательно бы показать, что выполнены все условия задачи (попарная взаимная простота $x,y,z$ и полнота решения).

[vicvolf]

scwec в сообщении #1404369 писал(а):

vicvolf в сообщении #1404304 писал(а):

Хотя мог бы догадаться, что уравнение Туэ 3 степени имеет конечное число решений, поэтому искать параметрические решения не имеет смысла.

Вы ошибаетесь, каждое уравнение $z^3=x^3+Ny^3$ (аналогичное уравнению $z^3=x^3+4y^3$ ) при $N=6,7,9,12,13,15,17,19,20,22,26...$ имеет бесконечно много нетривиальных рациональных и целых решений.

Вы не поняли. Имелось в виду неприводимое уравнение Туэ третьей степени $a^3+4b^3=1$, которое имеет только одно решение в целых числах $a=1, b=0$. Этому решению соответствует бесконечное число решений уравнения $x^3+4y^3=z^3$ вида $z=x,y=0$, т. е. плоскость целых решений. Однородное уравнение $x^3+Ky^3=z^3$ имеет такое же решение. В кубе со стороной $N$ данное однородное уравнение имеет $O(N^2)$ целых решений, т.е. имеет наибольший возможный порядок числа целых решений из уравнений от 3 переменных.