Тропическая алгебра

[Sicker]

Всем известны операции в тропической алгебре - тропическое сложение и умножение, которые определяются как
$x\bigoplus y=\max(x,y)$
$x\bigodot y=x+y$
Операция тропического вычитания, которая является обратной к тропическому сложению, не определена.
Я попытаюсь ее ввести через расширение поля вещественных чисел, на котором вводятся операции тропического сложения и умножения
Пусть $(-)$ - значок тропического вычитания, рассмотрим новый класс чисел вида $(-)x$, где $x$ - вещественное число. Почему так их обозначили расскажу ниже
Определим операции сложения и умножения с обычным вещественными тропическими числами, перед которыми мы будет писать $(+)$ - операцию тропического сложения, имея ввиду сложение с нейтральным элементом по сложению - минус бесконечностью
Будем обозначать числа старого и нового вида как $()x$, где в скобках может стоять $+$ или $-$
Сумма $()x (+) ()y=()z$ определяется так
$z=\max(x,y)$, а знак в скобках перед $z$ определяется знаком наибольшего из сравниваемых чисел. Если числа разных знаков в скобках равны, то операция неопределена
Произведение $()x (\cdot) ()y=()z$ определяется так
$z=x+y$, а знак с скобках перед $z$ определяется как обычное произведение знаков в скобках у $x$ и $y$
Соответственно, операцию тропического вычитания двух чисел $x (-) y$ надо понимать как $x (+) ((-)y)$
Определенная таким образом операция вычитания двух тропических чисел на расширенной вещественной оси обладает всеми свойствами ассоциативности, дистрибутивности и т.д. с другими операциями
P.S. Теперь об обозначении новых чисел как $(-)x$, тут полная аналогия с привычными $(+)x=-\infty (+)x$, и поэтому $(-)x=-\infty (-) x$
И можно заметить интересное свойство - $(-)(-\infty)=-\infty$, т.е. это примерно как $-0=0$
И сумма двух равных тропических чисел с разным знаком в скобках является определенной только в случае если они равны $-\infty$, т.е. $(-)(-\infty) (+) (-\infty)=-\infty=(-)(-\infty)$
Кто что думает по этому вопросу?

[arseniiv]

Обозначения нечитаемые, ну честно же. Хуже чем у меня.

-- Пт июл 05, 2019 19:46:20 --

Если вам так нужно в определениях различать старые и добавленные элементы, то черты или точки какие-нибудь поставьте сверху-снизу, или там плюсик-минусик индексом, но не так же.

-- Пт июл 05, 2019 19:54:37 --

Плюс чего это вы пересели на $(+), (\cdot)$ с $\oplus,\odot$? (Вот так их надо писать как бинарные операции, а не как $\bigoplus,\bigodot$ — это для ситуаций, когда пишут $\sum,\prod$.) Вычитание в кружочке аналогично будет $\ominus$. Как унарные $\oplus,\ominus$ тоже можно использовать, беря их в фигурные скобки.

Sicker в сообщении #1403362 писал(а):

Если числа разных знаков в скобках равны, то операция неопределена

Вот уже один признак того, что дополнение скорее всего было зря.

Sicker в сообщении #1403362 писал(а):

Определенная таким образом операция вычитания двух тропических чисел на расширенной вещественной оси обладает всеми свойствами ассоциативности, дистрибутивности и т.д. с другими операциями

Покажите (хотя вычитание разве должно быть ассоциативным?..). Плюс покажите, что те свойства $\oplus,\odot$, которые выполнялись раньше, выполняются и на расширенном множестве.

[Sicker]

arseniiv
Написать бы минус в кружочке Короче, если в кружочке один минус - $(-)$, то это один неделимый на термы знак, а например $(-5)$ - это именно минус пять в скобках

[arseniiv]

Про ассоциативность вычитания. Вообще если у нас есть полукольцо (исходная тропическая штуковина тоже полукольцо), и в нём сложение обратимо (как вы хотите) и вычитание тоже ассоциативно, то имеем $a + (-b) + c = a - (b - c) = (a - b) - c = a + (-b) + (-c)$, после чего вычитаем из обеих частей $a + (-b)$ и выходит $c = -c$. То есть полукольцо с ассоциативным вычитанием должно быть нулевым. Значит или вы написали ерунду про вычитание, или вы сломали полукольцо, и это очень плохо, потому что это практически минимальная кольцеподобная структура, от которой ещё имеется какая-то польза.

[alcoholist]

Sicker в сообщении #1403428 писал(а):

Написать бы минус в кружочке

так наведите мышку на символ в сообщении arseniiv

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1403428 писал(а):

Короче, если в кружочке один минус - $(-)$, то это один неделимый на термы знак

Это-то понятно, но оно же и нечитаемо. В общем ждём от вас доказательства свойств операций. В нормальных обозначениях. И положительные и отрицательные элементы уж обозначьте как-то почитаемее, пожалуйста.

[Sicker]

arseniiv в сообщении #1403426 писал(а):

Покажите (хотя вычитание разве должно быть ассоциативным?..)

$5\ominus(6\ominus7)=5\ominus(\ominus7)=5\oplus7=7$
$5\ominus(6\ominus7)=5\ominus6\oplus7=\ominus6\oplus7=7$

-- 05.07.2019, 18:21 --

arseniiv в сообщении #1403426 писал(а):

Плюс покажите, что те свойства $\oplus,\odot$, которые выполнялись раньше, выполняются и на расширенном множестве

$(3\ominus5)\odot(\ominus4\oplus7)=\ominus5\odot7=\ominus12$
$(3\ominus5)\odot(\ominus4\oplus7)=3\odot\ominus4\oplus3\odot7\oplus5\odot\4\ominus5\odot7=\ominus7\oplus10\oplus9\ominus12=\ominus12$

-- 05.07.2019, 18:22 --

arseniiv в сообщении #1403429 писал(а):

Про ассоциативность вычитания

Нет, оно не ассоциативно)

arseniiv в сообщении #1403429 писал(а):

и в нём сложение обратимо (как вы хотите)

Сложение необратимо, вычитание это сложение отрицательных элементов (у которых присутствует $\ominus)$

-- 05.07.2019, 18:23 --

alcoholist в сообщении #1403430 писал(а):

так наведите мышку на символ в сообщении arseniiv

Дополнение к ответу возникло позже моего поста

[Евгений Машеров]

Sicker в сообщении #1403362 писал(а):

Операция тропического вычитания, которая является обратной к тропическому сложению, не определена.

и

Sicker в сообщении #1403434 писал(а):

Сложение необратимо,

как-то согласуются?

[Sicker]

Евгений Машеров в сообщении #1403478 писал(а):

как-то согласуются?

Ну да, первое следствие второго

[Евгений Машеров]

То есть никакого отношения к обычной трактовке "вычитания", как обратной сложению операции, ваше "вычитание" не имеет?

[Sicker]

Евгений Машеров
Верно

[Евгений Машеров]

А чего бы тогда не назвать его как-то иначе?

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1403434 писал(а):

Сложение необратимо, вычитание это сложение отрицательных элементов (у которых присутствует $\ominus)$

Зачем вы его тогда вычитанием назвали? И зачем вообще было дополнять?..

Sicker в сообщении #1403434 писал(а):

$(3\ominus5)\odot(\ominus4\oplus7)=\ominus5\odot7=\ominus12$
$(3\ominus5)\odot(\ominus4\oplus7)=3\odot\ominus4\oplus3\odot7\oplus5\odot\4\ominus5\odot7=\ominus7\oplus10\oplus9\ominus12=\ominus12$

Ну вообще так ведь свойства типа ассоциативности не доказывают. Вдруг контрпример явится. Надо расписывать общий случай. Впрочем теперь сначала надо разобраться, зачем нужны добавление элементов и «вычитание», если оно не обратно сложению.

[Sicker]

arseniiv в сообщении #1403513 писал(а):

Зачем вы его тогда вычитанием назвали? И зачем вообще было дополнять?..

Потому что логично его назвать тропическим вычитанием. Вообще у всех этих операций есть как бы аналог размерностей Минковского - тропическое сложение и умножение это обычное сложение и умножение множеств, когда мы смотрим только на их размерности. И я решил что можно множества также вычитать, т.е. они могут быть на отрицательной оси. Если конкретно, то обычные тропические операции получаются с оперированием числами вида $N^x$, где $N$ - очень большое число, а $x$ вещественное число (тропическое число), а мои операции получаются если еще добавить числа вида $-N^x$

-- 06.07.2019, 18:16 --

arseniiv в сообщении #1403513 писал(а):

Ну вообще так ведь свойства типа ассоциативности не доказывают. Вдруг контрпример явится. Надо расписывать общий случай

Ну так вы и постройте контрпример, если операции не совсем сохраняются, у вас с алгеброй лучше

-- 06.07.2019, 18:16 --

arseniiv в сообщении #1403513 писал(а):

Впрочем теперь сначала надо разобраться, зачем нужны добавление элементов и «вычитание», если оно не обратно сложению.

Оно нужно как бы из физических соображений, про которые я написал чуть выше

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1403600 писал(а):

Если конкретно, то обычные тропические операции получаются с оперированием числами вида $N^x$, где $N$ - очень большое число, а $x$ вещественное число (тропическое число), а мои операции получаются если еще добавить числа вида $-N^x$

Тогда явно не хватает нуля, добавляйте и его. А то у вас два отдельных мира, которые вы связали как будто просто чтобы было.

Sicker в сообщении #1403600 писал(а):

Ну так вы и постройте контрпример, если операции не совсем сохраняются, у вас с алгеброй лучше

Вы предлагаете расширение, вам и доказывать, а не мне опровергать.

Sicker в сообщении #1403600 писал(а):

Оно нужно как бы из физических соображений, про которые я написал чуть выше

А какой смысл тогда у «отрицательных множеств»? Вы просто передвинули обоснование, необходимость его дать никуда не делась.

Я понимаю, что математика не запрещает выдумывать что угодно, но должны же быть хотя бы какие-то гипотетические перспективы и новизна. А то вы просто две копии тропического полукольца как-то склеили и всё. Я подобным образом могу сделать с двумя копиями $\mathbb R$ — сделаем инволюцию, переносящую элемент с одной на другую, сделаем её даже линейной, и как-там-нибудь замкнём операции…