2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Тропическая алгебра
Сообщение05.07.2019, 14:24 
Аватара пользователя


13/08/13
4092
Всем известны операции в тропической алгебре - тропическое сложение и умножение, которые определяются как
$x\bigoplus y=\max(x,y)$
$x\bigodot y=x+y$
Операция тропического вычитания, которая является обратной к тропическому сложению, не определена.
Я попытаюсь ее ввести через расширение поля вещественных чисел, на котором вводятся операции тропического сложения и умножения
Пусть $(-)$ - значок тропического вычитания, рассмотрим новый класс чисел вида $(-)x$, где $x$ - вещественное число. Почему так их обозначили расскажу ниже
Определим операции сложения и умножения с обычным вещественными тропическими числами, перед которыми мы будет писать $(+)$ - операцию тропического сложения, имея ввиду сложение с нейтральным элементом по сложению - минус бесконечностью
Будем обозначать числа старого и нового вида как $()x$, где в скобках может стоять $+$ или $-$
Сумма $()x (+) ()y=()z$ определяется так
$z=\max(x,y)$, а знак в скобках перед $z$ определяется знаком наибольшего из сравниваемых чисел. Если числа разных знаков в скобках равны, то операция неопределена
Произведение $()x (\cdot) ()y=()z$ определяется так
$z=x+y$, а знак с скобках перед $z$ определяется как обычное произведение знаков в скобках у $x$ и $y$
Соответственно, операцию тропического вычитания двух чисел $x (-) y$ надо понимать как $x (+) ((-)y)$
Определенная таким образом операция вычитания двух тропических чисел на расширенной вещественной оси обладает всеми свойствами ассоциативности, дистрибутивности и т.д. с другими операциями
P.S. Теперь об обозначении новых чисел как $(-)x$, тут полная аналогия с привычными $(+)x=-\infty (+)x$, и поэтому $(-)x=-\infty (-) x$
И можно заметить интересное свойство - $(-)(-\infty)=-\infty$, т.е. это примерно как $-0=0$
И сумма двух равных тропических чисел с разным знаком в скобках является определенной только в случае если они равны $-\infty$, т.е. $(-)(-\infty) (+) (-\infty)=-\infty=(-)(-\infty)$
Кто что думает по этому вопросу? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Тропическая алгебра
Сообщение05.07.2019, 17:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27145
Обозначения нечитаемые, ну честно же. Хуже чем у меня.

-- Пт июл 05, 2019 19:46:20 --

Если вам так нужно в определениях различать старые и добавленные элементы, то черты или точки какие-нибудь поставьте сверху-снизу, или там плюсик-минусик индексом, но не так же.

-- Пт июл 05, 2019 19:54:37 --

Плюс чего это вы пересели на $(+), (\cdot)$ с $\oplus,\odot$? (Вот так их надо писать как бинарные операции, а не как $\bigoplus,\bigodot$ — это для ситуаций, когда пишут $\sum,\prod$.) Вычитание в кружочке аналогично будет $\ominus$. Как унарные $\oplus,\ominus$ тоже можно использовать, беря их в фигурные скобки.

Sicker в сообщении #1403362 писал(а):
Если числа разных знаков в скобках равны, то операция неопределена
Вот уже один признак того, что дополнение скорее всего было зря.

Sicker в сообщении #1403362 писал(а):
Определенная таким образом операция вычитания двух тропических чисел на расширенной вещественной оси обладает всеми свойствами ассоциативности, дистрибутивности и т.д. с другими операциями
Покажите (хотя вычитание разве должно быть ассоциативным?..). Плюс покажите, что те свойства $\oplus,\odot$, которые выполнялись раньше, выполняются и на расширенном множестве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тропическая алгебра
Сообщение05.07.2019, 17:55 
Аватара пользователя


13/08/13
4092
arseniiv
Написать бы минус в кружочке :-) Короче, если в кружочке один минус - $(-)$, то это один неделимый на термы знак, а например $(-5)$ - это именно минус пять в скобках

 Профиль  
                  
 
 Re: Тропическая алгебра
Сообщение05.07.2019, 18:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27145
Про ассоциативность вычитания. Вообще если у нас есть полукольцо (исходная тропическая штуковина тоже полукольцо), и в нём сложение обратимо (как вы хотите) и вычитание тоже ассоциативно, то имеем $a + (-b) + c = a - (b - c) = (a - b) - c = a + (-b) + (-c)$, после чего вычитаем из обеих частей $a + (-b)$ и выходит $c = -c$. То есть полукольцо с ассоциативным вычитанием должно быть нулевым. Значит или вы написали ерунду про вычитание, или вы сломали полукольцо, и это очень плохо, потому что это практически минимальная кольцеподобная структура, от которой ещё имеется какая-то польза.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тропическая алгебра
Сообщение05.07.2019, 18:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2492
СПб
Sicker в сообщении #1403428 писал(а):
Написать бы минус в кружочке

так наведите мышку на символ в сообщении arseniiv

 Профиль  
                  
 
 Re: Тропическая алгебра
Сообщение05.07.2019, 18:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27145
Sicker в сообщении #1403428 писал(а):
Короче, если в кружочке один минус - $(-)$, то это один неделимый на термы знак
Это-то понятно, но оно же и нечитаемо. В общем ждём от вас доказательства свойств операций. :roll: В нормальных обозначениях. И положительные и отрицательные элементы уж обозначьте как-то почитаемее, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тропическая алгебра
Сообщение05.07.2019, 18:13 
Аватара пользователя


13/08/13
4092
arseniiv в сообщении #1403426 писал(а):
Покажите (хотя вычитание разве должно быть ассоциативным?..)

$5\ominus(6\ominus7)=5\ominus(\ominus7)=5\oplus7=7$
$5\ominus(6\ominus7)=5\ominus6\oplus7=\ominus6\oplus7=7$

-- 05.07.2019, 18:21 --

arseniiv в сообщении #1403426 писал(а):
Плюс покажите, что те свойства $\oplus,\odot$, которые выполнялись раньше, выполняются и на расширенном множестве

$(3\ominus5)\odot(\ominus4\oplus7)=\ominus5\odot7=\ominus12$
$(3\ominus5)\odot(\ominus4\oplus7)=3\odot\ominus4\oplus3\odot7\oplus5\odot\4\ominus5\odot7=\ominus7\oplus10\oplus9\ominus12=\ominus12$

-- 05.07.2019, 18:22 --

arseniiv в сообщении #1403429 писал(а):
Про ассоциативность вычитания

Нет, оно не ассоциативно)
arseniiv в сообщении #1403429 писал(а):
и в нём сложение обратимо (как вы хотите)

Сложение необратимо, вычитание это сложение отрицательных элементов (у которых присутствует $\ominus)$

-- 05.07.2019, 18:23 --

alcoholist в сообщении #1403430 писал(а):
так наведите мышку на символ в сообщении arseniiv

Дополнение к ответу возникло позже моего поста :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Тропическая алгебра
Сообщение05.07.2019, 21:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7104
Москва
Sicker в сообщении #1403362 писал(а):
Операция тропического вычитания, которая является обратной к тропическому сложению, не определена.

и
Sicker в сообщении #1403434 писал(а):
Сложение необратимо,


как-то согласуются?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тропическая алгебра
Сообщение05.07.2019, 21:24 
Аватара пользователя


13/08/13
4092
Евгений Машеров в сообщении #1403478 писал(а):
как-то согласуются?

Ну да, первое следствие второго

 Профиль  
                  
 
 Re: Тропическая алгебра
Сообщение05.07.2019, 21:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7104
Москва
То есть никакого отношения к обычной трактовке "вычитания", как обратной сложению операции, ваше "вычитание" не имеет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тропическая алгебра
Сообщение05.07.2019, 21:59 
Аватара пользователя


13/08/13
4092
Евгений Машеров
Верно :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Тропическая алгебра
Сообщение05.07.2019, 23:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7104
Москва
А чего бы тогда не назвать его как-то иначе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тропическая алгебра
Сообщение06.07.2019, 02:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27145
Sicker в сообщении #1403434 писал(а):
Сложение необратимо, вычитание это сложение отрицательных элементов (у которых присутствует $\ominus)$
Зачем вы его тогда вычитанием назвали? И зачем вообще было дополнять?..

Sicker в сообщении #1403434 писал(а):
$(3\ominus5)\odot(\ominus4\oplus7)=\ominus5\odot7=\ominus12$
$(3\ominus5)\odot(\ominus4\oplus7)=3\odot\ominus4\oplus3\odot7\oplus5\odot\4\ominus5\odot7=\ominus7\oplus10\oplus9\ominus12=\ominus12$
Ну вообще так ведь свойства типа ассоциативности не доказывают. Вдруг контрпример явится. Надо расписывать общий случай. Впрочем теперь сначала надо разобраться, зачем нужны добавление элементов и «вычитание», если оно не обратно сложению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тропическая алгебра
Сообщение06.07.2019, 18:15 
Аватара пользователя


13/08/13
4092
arseniiv в сообщении #1403513 писал(а):
Зачем вы его тогда вычитанием назвали? И зачем вообще было дополнять?..

Потому что логично его назвать тропическим вычитанием. Вообще у всех этих операций есть как бы аналог размерностей Минковского - тропическое сложение и умножение это обычное сложение и умножение множеств, когда мы смотрим только на их размерности. И я решил что можно множества также вычитать, т.е. они могут быть на отрицательной оси. Если конкретно, то обычные тропические операции получаются с оперированием числами вида $N^x$, где $N$ - очень большое число, а $x$ вещественное число (тропическое число), а мои операции получаются если еще добавить числа вида $-N^x$

-- 06.07.2019, 18:16 --

arseniiv в сообщении #1403513 писал(а):
Ну вообще так ведь свойства типа ассоциативности не доказывают. Вдруг контрпример явится. Надо расписывать общий случай

Ну так вы и постройте контрпример, если операции не совсем сохраняются, у вас с алгеброй лучше :-)

-- 06.07.2019, 18:16 --

arseniiv в сообщении #1403513 писал(а):
Впрочем теперь сначала надо разобраться, зачем нужны добавление элементов и «вычитание», если оно не обратно сложению.

Оно нужно как бы из физических соображений, про которые я написал чуть выше

 Профиль  
                  
 
 Re: Тропическая алгебра
Сообщение06.07.2019, 21:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27145
Sicker в сообщении #1403600 писал(а):
Если конкретно, то обычные тропические операции получаются с оперированием числами вида $N^x$, где $N$ - очень большое число, а $x$ вещественное число (тропическое число), а мои операции получаются если еще добавить числа вида $-N^x$
Тогда явно не хватает нуля, добавляйте и его. А то у вас два отдельных мира, которые вы связали как будто просто чтобы было.

Sicker в сообщении #1403600 писал(а):
Ну так вы и постройте контрпример, если операции не совсем сохраняются, у вас с алгеброй лучше :-)
Вы предлагаете расширение, вам и доказывать, а не мне опровергать. :|

Sicker в сообщении #1403600 писал(а):
Оно нужно как бы из физических соображений, про которые я написал чуть выше
А какой смысл тогда у «отрицательных множеств»? Вы просто передвинули обоснование, необходимость его дать никуда не делась.

Я понимаю, что математика не запрещает выдумывать что угодно, но должны же быть хотя бы какие-то гипотетические перспективы и новизна. А то вы просто две копии тропического полукольца как-то склеили и всё. Я подобным образом могу сделать с двумя копиями $\mathbb R$ — сделаем инволюцию, переносящую элемент с одной на другую, сделаем её даже линейной, и как-там-нибудь замкнём операции…

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group