2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость по распределению
Сообщение04.07.2019, 21:30 


07/09/17
34
Имеется две независимые друг от друга последовательности случайных дискретных величин $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}, \{ Y_n\}_{n=1}^{\infty}$ таких что $$X_n \to^{d} X, \quad Y_n \to^{d} Y, \quad X_n + Y_n \to^d Z,$$ где $X, Y$ независимые случайные величины, распределенные как $\mathcal{N}(0, 1)$ и $Z$ - другая независимая случайная величина, распределенная как $\mathcal{N}(0, 2)$.

Отсюда можно показать, что $\forall \varepsilon > 0 \ \exists n_0$ такое что $\forall n > n_0 \ \mathbb{P}(X_n + Y_n < \sqrt{2} \Phi^{-1}(\alpha)) \ge \alpha - \varepsilon$ и следовательно, $$ \mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} X_n + \frac{1}{\sqrt{n}} Y_n < \sqrt{\frac{1}{{n}} + \frac{1}{{n}}} \Phi^{-1}(\alpha)\right) \ge \alpha - \varepsilon. $$

Верно ли теперь, что для любых $m$ и $n$ таких что $m > n_0$ и $n > n_0$ мы имеем $$ \mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} X_n + \frac{1}{\sqrt{m}} Y_m < \sqrt{\frac{1}{{n}} + \frac{1}{{m}}} \Phi^{-1}(\alpha)\right) \ge \alpha - \varepsilon. $$

Интуитивно это кажется верным, так как $\frac{1}{\sqrt{n}} X + \frac{1}{\sqrt{m}} Y \sim \mathcal{N}(0, \frac{1}{n} + \frac{1}{m})$. Но какой формальный аргумент можно применить не очень понятно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group