Сходимость по распределению

[stiv1995]

Имеется две независимые друг от друга последовательности случайных дискретных величин $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}, \{ Y_n\}_{n=1}^{\infty}$ таких что

$$X_n \to^{d} X, \quad Y_n \to^{d} Y, \quad X_n + Y_n \to^d Z,$$

где $X, Y$ независимые случайные величины, распределенные как $\mathcal{N}(0, 1)$ и $Z$ - другая независимая случайная величина, распределенная как $\mathcal{N}(0, 2)$.

Отсюда можно показать, что $\forall \varepsilon > 0 \ \exists n_0$ такое что $\forall n > n_0 \ \mathbb{P}(X_n + Y_n < \sqrt{2} \Phi^{-1}(\alpha)) \ge \alpha - \varepsilon$ и следовательно,

$$ \mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} X_n + \frac{1}{\sqrt{n}} Y_n < \sqrt{\frac{1}{{n}} + \frac{1}{{n}}} \Phi^{-1}(\alpha)\right) \ge \alpha - \varepsilon. $$

Верно ли теперь, что для любых $m$ и $n$ таких что $m > n_0$ и $n > n_0$ мы имеем

$$ \mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} X_n + \frac{1}{\sqrt{m}} Y_m < \sqrt{\frac{1}{{n}} + \frac{1}{{m}}} \Phi^{-1}(\alpha)\right) \ge \alpha - \varepsilon. $$

Интуитивно это кажется верным, так как $\frac{1}{\sqrt{n}} X + \frac{1}{\sqrt{m}} Y \sim \mathcal{N}(0, \frac{1}{n} + \frac{1}{m})$. Но какой формальный аргумент можно применить не очень понятно.