Задача об обогащении игрока

[Padawan]

Игрок делает ставки в казино и в каждом раунде выигрывает с вероятностью $p>\frac 12$ (при выигрыше возвращает удвоенную ставку, при проигрыше теряет ставку). Как должен играть игрок, чтобы разбогатеть как можно быстрее?

[Null]

Максимальное матожидание суммы на руках после $n$ ставок, если в начале у игрока $1$? Это что-ли?

[worm2]

Можно ещё вместо матожидания медиану оптимизировать.
Или минимальное число ставок для достижения заданного уровня матожидания N.
Или, например, максимально возможный выигрыш

[ИСН]

А что тут оптимизировать-то? После каждого раза сумма умножается на $2p$. Если ставить не всё, то и умножается не всё. С точки зрения матожидания - всё однозначно.

[Padawan]

Не в мат.ожидании дело. Допустим, $p=0.7$. Попробуйте ставить всё, убедитесь, что вы быстро разоритесь, не говоря уж о том, чтобы разбогатеть.

-- Чт июл 04, 2019 17:17:11 --

Null в сообщении #1403189 писал(а):

Максимальное матожидание суммы на руках после $n$ ставок, если в начале у игрока $1$? Это что-ли?

Хотя, возможно, это и есть. Формализация - составная часть задачи. У меня есть некоторое решение, полученное теоретически, и проверенное в экселе. Но что именно это решение означает с точки зрения теории веорятностей, я строго не совсем понимаю.

[ИСН]

Padawan в сообщении #1403195 писал(а):

Не в мат.ожидании дело.

Да уж, я так и заподозрил. А тогда в чём? От этого вопроса зависит чуть более, чем всё. Что оптимизируем-то? У Вас есть решение; решение какой задачи?

[Padawan]

ИСН в сообщении #1403198 писал(а):

решение какой задачи?

Ну, пусть будет мат.ожидание выигрыша после $N$ раундов, где $N$ -- очень большое число.

[venco]

Если оптимизировать матожидание, то надо ставить всё.
Матожидание равно $\prod{(1+a_k(2p-1))}$, где $a_k$ - доля поставленного на $k$-том шаге. Максимум достигается при $a_k=1$.

[Padawan]

Да, согласен. Тем не менее, вероятность, что при такой стратегии капитал игрока стремится к нулю, равна $1$. Как минимум хотелось бы, чтобы он с вероятностью $1$ стремился к бесконечности.

[Geen]

Надо прологарфмировать наличные деньги

[EUgeneUS]

Padawan
Гуглить "критерий Келли"

[Padawan]

EUgeneUS
Спасибо, да, я это решение и имел ввиду. Спасибо за ссылку, интересно.

[venco]

Padawan в сообщении #1403212 писал(а):

Да, согласен. Тем не менее, вероятность, что при такой стратегии капитал игрока стремится к нулю, равна $1$.

Тем не менее, матожидание будет максимальным.

Padawan в сообщении #1403212 писал(а):

Как минимум хотелось бы, чтобы он с вероятностью $1$ стремился к бесконечности.

Тогда надо выбрать другую величину для оптимизации, например, матожидание логарифма, и оптимальной ставкой будет как раз $2p-1$.

[EUgeneUS]

venco в сообщении #1403418 писал(а):

например, матожидание логарифма, и оптимальной ставкой будет как раз $2p-1$.

Собственно:

Цитата:

В обоих этих случаях, мы исследуем
использование критерия Келли, который максимизирует ожидаемую
величину логарифма дохода («максимизирует ожидаемую логарифмическую
полезность»).

[Padawan]

Кажется исходный вопрос можно сформулировать так: минимизировать мат.ожидание времени, за которое капитал возрастает $N$ раз.