2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача об обогащении игрока
Сообщение04.07.2019, 14:35 
Заслуженный участник


13/12/05
3747
Игрок делает ставки в казино и в каждом раунде выигрывает с вероятностью $p>\frac 12$ (при выигрыше возвращает удвоенную ставку, при проигрыше теряет ставку). Как должен играть игрок, чтобы разбогатеть как можно быстрее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача об обогащении игрока
Сообщение04.07.2019, 15:50 
Заслуженный участник


12/08/10
1052
Максимальное матожидание суммы на руках после $n$ ставок, если в начале у игрока $1$? Это что-ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача об обогащении игрока
Сообщение04.07.2019, 15:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2736
Уфа
Можно ещё вместо матожидания медиану оптимизировать.
Или минимальное число ставок для достижения заданного уровня матожидания N.
Или, например, максимально возможный выигрыш :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача об обогащении игрока
Сообщение04.07.2019, 15:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13319
с Территории
А что тут оптимизировать-то? После каждого раза сумма умножается на $2p$. Если ставить не всё, то и умножается не всё. С точки зрения матожидания - всё однозначно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача об обогащении игрока
Сообщение04.07.2019, 16:05 
Заслуженный участник


13/12/05
3747
Не в мат.ожидании дело. Допустим, $p=0.7$. Попробуйте ставить всё, убедитесь, что вы быстро разоритесь, не говоря уж о том, чтобы разбогатеть.

-- Чт июл 04, 2019 17:17:11 --

Null в сообщении #1403189 писал(а):
Максимальное матожидание суммы на руках после $n$ ставок, если в начале у игрока $1$? Это что-ли?

Хотя, возможно, это и есть. Формализация - составная часть задачи. У меня есть некоторое решение, полученное теоретически, и проверенное в экселе. Но что именно это решение означает с точки зрения теории веорятностей, я строго не совсем понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача об обогащении игрока
Сообщение04.07.2019, 16:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13319
с Территории
Padawan в сообщении #1403195 писал(а):
Не в мат.ожидании дело.
Да уж, я так и заподозрил. А тогда в чём? От этого вопроса зависит чуть более, чем всё. Что оптимизируем-то? У Вас есть решение; решение какой задачи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача об обогащении игрока
Сообщение04.07.2019, 16:31 
Заслуженный участник


13/12/05
3747
ИСН в сообщении #1403198 писал(а):
решение какой задачи?

Ну, пусть будет мат.ожидание выигрыша после $N$ раундов, где $N$ -- очень большое число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача об обогащении игрока
Сообщение04.07.2019, 17:00 
Заслуженный участник


04/05/09
4495
Если оптимизировать матожидание, то надо ставить всё.
Матожидание равно $\prod{(1+a_k(2p-1))}$, где $a_k$ - доля поставленного на $k$-том шаге. Максимум достигается при $a_k=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача об обогащении игрока
Сообщение04.07.2019, 17:21 
Заслуженный участник


13/12/05
3747
Да, согласен. Тем не менее, вероятность, что при такой стратегии капитал игрока стремится к нулю, равна $1$. Как минимум хотелось бы, чтобы он с вероятностью $1$ стремился к бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача об обогащении игрока
Сообщение04.07.2019, 17:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
2575
Надо прологарфмировать наличные деньги :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача об обогащении игрока
Сообщение04.07.2019, 18:10 


11/12/16
6511
Padawan
Гуглить "критерий Келли"

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача об обогащении игрока
Сообщение04.07.2019, 18:32 
Заслуженный участник


13/12/05
3747
EUgeneUS
Спасибо, да, я это решение и имел ввиду. Спасибо за ссылку, интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача об обогащении игрока
Сообщение05.07.2019, 17:13 
Заслуженный участник


04/05/09
4495
Padawan в сообщении #1403212 писал(а):
Да, согласен. Тем не менее, вероятность, что при такой стратегии капитал игрока стремится к нулю, равна $1$.
Тем не менее, матожидание будет максимальным.
Padawan в сообщении #1403212 писал(а):
Как минимум хотелось бы, чтобы он с вероятностью $1$ стремился к бесконечности.
Тогда надо выбрать другую величину для оптимизации, например, матожидание логарифма, и оптимальной ставкой будет как раз $2p-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача об обогащении игрока
Сообщение05.07.2019, 19:15 


11/12/16
6511
venco в сообщении #1403418 писал(а):
например, матожидание логарифма, и оптимальной ставкой будет как раз $2p-1$.


Собственно:
Цитата:
В обоих этих случаях, мы исследуем
использование критерия Келли, который максимизирует ожидаемую
величину логарифма дохода («максимизирует ожидаемую логарифмическую
полезность»).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача об обогащении игрока
Сообщение07.07.2019, 07:07 
Заслуженный участник


13/12/05
3747
Кажется исходный вопрос можно сформулировать так: минимизировать мат.ожидание времени, за которое капитал возрастает $N$ раз.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group