Что такое скорость?

[zbl]

«Что такое скорость?». Странный вопрос, не правда ли?

Это просто учебная задачка-заморочка. Она и по логике (как разрешить противоречие?) и по физике (что такое физическая величина?) и по философии (что значит знать или не знать?). На мой взгляд, она очень полезна тем, кто изучает квантовую механику. Без подобного это учение легко превращается только в тупое выписывание латинских букв в качестве решения стандартных задач.

Задача ставится так. Я говорю что такое скорость. Говорю это так, чтобы все согласились. Если есть несогласные с моей формулировкой, то я говорю, что мне с ними дальше это обсуждать просто не интересно. Затем я говорю почему скорость тем, что о ней сказано, быть никак не может. И снова делаю это так, чтобы все согласились. Если есть несогласные, то я снова говорю, что тут уже, конечно, мне есть какой-то смысл с ними лить воду в решето, но мне просто это делать лень. Таким образом получается противоречие: скорость — это вот что такое, но этим она никак быть не может. Задача в том состоит, чтобы это противоречие разрешить. Причём, я говорю, что в том, что я сказал, ответ уже есть: его из этого можно получить простыми рассуждениями.

Вот как я формулирую что такое скорость. Скорость — это физическая величина. Физический смысл — это способ измерения. Если вы умеете измерять скорость, то опишите то, что вы при этом делаете, и это будет нужной формулировкой. Кратко это сделать трудно. Я формулирую это так: скорость — это производная координаты по времени. Такую формулировку люди редко понимают сразу. Видимо, их смущает, что производная — математическое понятие, а скорость — физическая величина. Если так, то я прошу их самим сформулировать способ измерения скорости, предупредив, что на это я потом скажу, что вот это то и значит, что скорость — это производная.

Вот как я говорю о том, что скорость производной координаты по времени никак не может быть. Это можно показать даже, оставаясь в рамках только классической механики. Но так это сделать слишком мудро. Это сведётся к нерешённости апории Зенона «Стрела»: движущееся тело в каждый момент времени чем-то отличается от такого же покоящегося. Поэтому в механическое состояние координата и скорость входят равноправно: скорость никак не зависит от координаты, даже как производная. Но с квантовой механикой это уж совсем очевидно: если бы скорость была производной, то квантовой механики бы вообще не было, потому что в ней скорость и координата не измеримы совместно.

Вот так я формулирую противоречие. Получается, что скорость не может не быть производной координаты по времени, но быть ею она никак не может. Скорость не может не быть производной, потому что именно так мы и понимаем скорость: скорость — это быстрота изменения. Но в квантовой механике скорость уж точно не производная, правда ведь? Но это ж та же самая скорость, которая измеряется в точности так же. Если она в квантовой механике не производная, то она и в классической механике не производная. Что, впрочем, очевидно: иначе бы квантовой механики не было вообще.

Задача состоит в том, чтобы ответить на вопрос: а что ж тогда такое скорость? Попытки ответить в стиле «скорость — это на самом деле трансцендентальная апперцепция» сведутся к тому, что скорость не может не быть производной: если понимать скорость иначе, то это уже не будет скоростью, а будет чем-то другим. Отвечать нужно в стиле «здесь нет ничего удивительного, если, конечно, ты действительно знаешь что такое скорость».

И ответ уже есть в сказанном. Его можно получить простым рассуждением. Начать, понятно, нужно с противоречия: скорость не может не быть производной координаты по времени, но быть ею она никак не может. Это противоречие нужно разрешить. Так полного ответа на вопрос ещё не получится, но начать нужно именно так.

[DimaM]

Смешались в кучу кони, люди, классика, кванты, Зеноны...
Эти словесные игры могут быть занятны, но отменно бессмысленны.

[upgrade]

Ну вообще

zbl в сообщении #1402946 писал(а):

скорость никак не зависит от координаты

так как скорость - это изменение координаты при изменении времени (дельта на дельту).

[Geen]

Координата это не расстояние. А скорость всегда относительно чего-то...

[Утундрий]

Вопрос первый: координата и скорость - близнецы братья?

[george66]

Если по стене человеческий мужик
Бегает как муха и говорит "Вжик-вжик"

Это писателю Харитонову приснился Бродский, читающий новые стихи.

[zbl]

Да, совсем забыл. Что тут обсуждать-то? Да, собственно, нечего. Я попусту трепаться очень не люблю. Могу только, кому интересно, дорассказать решение задачи и в конце анекдот. Тогда упомяните меня, а то обычный здешний трёп читать у меня ни времени, ни желания нет.

[amon]

zbl в сообщении #1402946 писал(а):

Но в квантовой механике скорость уж точно не производная, правда ведь?

Неправда. Оператор скорости - производная оператора координаты по времени, а значение определяется как среднее по соответствующему вектору состояния.

[miflin]

(Оффтоп)

Geen в сообщении #1402979 писал(а):

Координата это не расстояние.

Вопрос школьника лузера.
Не расстояние даже от начала координат?

[zbl]

amon в сообщении #1403019 писал(а):

Оператор скорости - производная оператора координаты по времени, а значение определяется как среднее по соответствующему вектору состояния.

Спасибо. Это дельно. Я могу возразить. Но пока не знаю, как это ясно Вам сформулировать. Речь, ведь, идёт об измерении, а не о матаппарате. Прибор, измеряющий скорость, тот же самый, и он ничего об операторах не знает. Он даст просто среднюю скорость, и это не будет значением производной в классическом смысле. Поэтому в квантовой механике скорость не есть производная в том смысле, в котором измеряет прибор.

[warlock66613]

zbl в сообщении #1402946 писал(а):

Если она в квантовой механике не производная, то она и в классической механике не производная.

Здесь нет логики. Даже в разных формулировках квантовой механики это производная в гейзенбеговской картине и не-производная в шрёдингеровской.

zbl в сообщении #1403023 писал(а):

Прибор, измеряющий скорость, тот же самый, и он ничего об операторах не знает.

Здесь проблема. В классической механике даже если изначально никакого прибора, измеряющего скорость, не предполагалось, его всегда можно мысленно добавить и ничего не изменится. Но в квантовой механике добавление прибора меняет ситуацию, поэтому важно что в общем случае прибора нет, и никакой измеренной скорости нет, а вот оператор скорости есть.

[amon]

zbl в сообщении #1403023 писал(а):

Поэтому в квантовой механике скорость не есть производная в том смысле, в котором измеряет прибор.

Извините, но создается впечатление, что Вы пытаетесь изобрести очередной велосипед с квадратными колесами. Всем известно, что всякий прибор измеряет некоторое среднее, в том числе по времени. Поэтому спидометр, строго говоря, измеряет среднюю скорость, усредненную по короткому промежутку времени, так же как линейка выдает случайную величину, среднее от которой дает оценку расстояния между двумя точками. При уменьшении времени и дисперсии измерения получающаяся величина все точнее становится равной $\frac{d\mathbf{r}}{dt},$ и на этом, IMHO, все парадоксы заканчиваются.

[Утундрий]

zbl в сообщении #1403012 писал(а):

Могу только, кому интересно, дорассказать решение задачи и в конце анекдот

Если это поможет сократить время переливания из пустого в порожнее, то милости просим.

[Red_Herring]

amon в сообщении #1403019 писал(а):

Оператор скорости - производная оператора координаты по времени, а значение определяется как среднее по соответствующему вектору состояния.

Обычно оператор координаты это просто оператор умножения на $x$, тогда чему равна его производная по времени? С другой стороны, если считать, что вектор состояния $\Psi$ постоянен, то $\hat(x)$ будет заменен на $e^{ih^{-1}Ht} \hat{x}e^{ih^{-1}Ht}$ и его производная по $t$ будет $ih^{-1}[H,\hat{x}]$, и это и будет правильным оператором скорости. Т.е. только в соответствующей интерпретации (Гейзенберга).

[arseniiv]

(miflin)

miflin в сообщении #1403022 писал(а):

Не расстояние даже от начала координат?

Только в особенном случае, даже если мы рассматриваем только одномерное пространство. Ведь не любая координата — декартова.