Задача про функцию, которая вдвое чаще растёт, чем убывает

[Ruslan_Sharipov]

Случайным образом в голову пришла задача. В силу простоты своей формулировки возможно она уже где-то формулировалась, либо является следствием какой-нибудь общей теории. В общем, хотелось бы узнать всё, что возможно, про следующую задачу.
Задача. Существует ли вещественнозначная функция $f(x)$ на отрезке $[0,1]$, такая, что для любого вложенного отрезка $[a,b]\subseteq [0,1]$ множества точек возрастания и точек убывания функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$ измеримы (по Лебегу), их меры отличны от нуля, причём мера первого из них вдвое превосходит меру второго?

[Sender]

Хм, а что такое точка возрастания (убывания) функции?

[Ruslan_Sharipov]

Точка $x_0$ из множества $M\subseteq [0,1]$ называется точкой возрастания функции $f(x)$ на $M$, если $f(x)<f(x_0)$ при всех $x<x_0$ и $x\in M$ и если $f(x)>f(x_0)$ при всех $x>x_0$ и $x\in M$. Точка убывания определяется аналогично. В качестве множества $M$ в задаче выступают всевозможные вложенные отрезки $[a,b]\subseteq [0,1]$.

[g______d]

Такого не бывает даже просто для двух измеримых множеств, потому что почти любая точка будет точкой плотности одного или другого.

[Ruslan_Sharipov]

G______d, спасибо. Всё верно. В исходной формулировке задача имеет отрицательное решение. Такой функции не существует. Однако, попытаюсь спасти задачу, переформулировав её.

Сначала технический момент. Точки возрастания, определённые выше, будет более естественным понимать как локальные точки возрастания в смысле следующего определения. Для вещественнозначной функции $f(x)$ на отрезке $[0,1]$ внутренняя точка $x_0$ отрезка называется локальной точкой возрастания функции $f(x)$ если существует некоторая окрестность этой точки, в которой значения функции $f(x)$ при $x<x_0$ меньше $f(x_0)$, а значения $f(x)$ при $x>x_0$ больше $f(x_0)$. Локальная точка убывания функции $f(x)$ определяется аналогичным образом. В этом случае можно определить множество точек локального возрастания функции $M_{+}$ и множество точек локального убывания функции $M_{-}$ для целого отрезка $[0,1]$. Соответствующие множества $M_{+}(a,b)$ и $M_{-}(a,b)$ для вложенного отрезка $[a,b]\subseteq [0,1]$ будут получаться как пересечения $M_{+}$ и $M_{-}$ с отрезком $[a,b]$.

Теперь по существу. Множества $M_{+}$ и $M_{-}$ не могут быть измеримыми по Лебегу, ибо, как заметил G______d, два не пересекающихся измеримых множества положительной размерности в силу теоремы о точках плотности не могут сильно перемешиваться всюду или почти всюду. Заменим их (уже неизмеримыми по Лебегу) множествами одинаковой хаусдорфовой размерности $\alpha$. Для таких множеств определена $\alpha$-мера Хаусдорфа.

Задача 2. Существует ли вещественнозначная функция $f(x)$ на отрезке $[0,1]$, такая, что для любого вложенного отрезка $[a,b]\subseteq [0,1]$ множества локальных точек возрастания $M_{+}(a,b)$ и локальных точек убывания $M_{-}(a,b)$ функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$ имеют одинаковую и не зависящую от $a$ и $b$ хаусдорфову размерность $0<\alpha<1$, их $\alpha$-меры Хаусдорфа конечны и отличны от нуля, причём $\alpha$-мера первого из них вдвое превосходит $\alpha$-меру второго?

[Ruslan_Sharipov]

Примечание. Условие неизмеримости по Лебегу множеств $M_{+}$ и $M_{-}$, высказанное выше в связи с исходной формулировкой задачи и её решением, которое дал G______d, не является обязательным в её новой формулировке. Задача 2 теперь не связана с мерой Лебега и формулируется исключительно для $\alpha$-меры Хаусдорфа.

[g______d]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1402605 писал(а):

Условие неизмеримости по Лебегу множеств $M_{+}$ и $M_{-}$, высказанное выше в связи с исходной формулировкой задачи
и её решением, которое дал G______d, не является обязательным в её новой формулировке.

Для начала: любое множество конечной $\alpha$-меры Хаусдорфа с $\alpha<1$ является измеримым по Лебегу (и имеет меру нуль).

[g______d]

По существу: для мер Хаусдорфа есть тоже теоремы о точках плотности: например, Matttila, "Geometry of sets and measures in the Euclidean spaces", теоремы 6.2 и 6.5, в данном случае достаточно любой из них (но 6.5 позволяет доказать немного более сильный результат).

Впрочем, можно и проще: применить теорему 2.12 к мерам, полученным сужением меры Хаусдорфа на одно множество и на другое. Получим, что они абсолютно непрерывны друг относительно друга, дальше теорема Радона--Никодима и совпадение носителей.

[Ruslan_Sharipov]

Информацию надо переварить. Книга P. Mattila, Geometry of sets and measures in the Euclidean spaces не находится в открытом доступе, но многие её фрагменты доступны через Google Books. В частности, имеется формулировка теоремы 2.12.

Теорема 2.12. Пусть $\lambda$ и $\mu$ - меры Радона в $\mathbb R^n$. Тогда

1. производная $D(\mu,\lambda,x)$ существует и конечна для почти всех $x\in\mathbb R^n$ по мере $\lambda$;
2. для всех борелевских множеств $B\subset\mathbb R^n$ имеет место нестрогое неравенство
   
   $$\dislaystyle\int_B D(\mu,\lambda,x)\ d\lambda(x)\leqslant \mu(B), $$
   причём равенство в нём достигается при $\mu\ll\lambda$;
3. условие $\mu\ll\lambda$ выполняется тогда и только тогда, когда $\underline D(\mu,\lambda,x)<\infty$ для почти всех $x\in\mathbb R^n$ по мере $\mu$.

Запись $\mu\ll\lambda$ в теореме 2.12 означает, что мера $\mu$ абсолютно непрерывна относительно $\lambda$, то есть из $\lambda(A)=0$ следует $\mu(A)=0$. Величины $\underline D(\mu,\lambda,x)$ и $\overline D(\mu,\lambda,x)$ вводятся через нижний и верхний пределы по шарам радиуса $r$:

\begin{gather*}\underline D(\mu,\lambda,x)=\liminf_{r\to 0}\frac{\mu(B(x,r))}{\lambda(B(x,r))},\\ \overline D(\mu,\lambda,x)=\limsup_{r\to 0}\frac{\mu(B(x,r))}{\lambda(B(x,r))}.\end{gather*}

В тех точках $x$, где указанные пределы совпадают, определяется величина $D(\mu,\lambda,x)=\underline D(\mu,\lambda,x)=\overline D(\mu,\lambda,x)$, называемая производной $\mu$ по $\lambda$.

Теорем 6.2 и 6.5 в открытом доступе найти не удалось. G______d, пожалуйста, сообщите здесь в форуме их формулировки, если Вам указанная Вами книга доступна.

[g______d]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1402644 писал(а):

Теорем 6.2 и 6.5 в открытом доступе найти не удалось. G______d, пожалуйста, сообщите здесь в форуме их формулировки, если Вам указанная Вами книга доступна.

Она есть на либгене, я несколько раз скачивал. Мне бы не очень хотелось заниматься переписыванием формулировок. Но я могу пояснить, почему достаточно теоремы 2.12. Рассмотрим две меры:

$$ \mu_+(A)=\mathcal H^\alpha(M_{+}\cap A),\quad \mu_-(A)=\mathcal H^\alpha(M_{-}\cap A). $$

Здесь $A\subset \mathbb R$ -- произвольное множество, $\mathcal H^{\alpha}$ -- внешняя мера Хаусдорфа (для удобства, все меры заменяем на соответствующие внешние меры. Такое же соглашение принято в книге).

Из условия и теоремы 2.12 следует, что $\mu_+$ и $\mu_-$ взаимно абсолютно непрерывны друг относительно друга с плотностью $2$ или $1/2$ (в зависимости от того, какая относительно какой). С другой стороны, поскольку множества $M_+$ и $M_-$ не пересекаются, эти две меры ещё и взаимно сингулярны. Такого не бывает.

[Ruslan_Sharipov]

Есть один нюанс. Теорема 2.12 сформулирована для мер Радона. Меры Радона по определению локально конечны. А $\alpha$-мера Хаусдорфа на прямой при $0<\alpha<1$ вроде как локально конечной не является.

[g______d]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1402744 писал(а):

А $\alpha$-мера Хаусдорфа
на прямой при $0<\alpha<1$ вроде как локально конечной не является.

Мера Хаусдорфа -- нет, но $\mu_+$ и $\mu_-$, которые я ввёл, являются.

[Ruslan_Sharipov]

Есть вопросы.

1) Зачем вы берёте внешнюю меру а не саму хаусдорфову $\alpha$-меру? Только для того, чтобы сказать $A\subset\mathbb R$ – произвольное множество вместо того, чтобы сказать $A\subset\mathbb R$ – борелевское множество? Или есть другие причины?

2) Если лебегова и хаусдорфова меры не подходят, какая мера могла бы содержательным образом формализовать слова: "точки множества $M_+$ всюду встречаются вдвое чаще, чем точки множества $M_-$"?

[g______d]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1402827 писал(а):

1) Зачем вы берёте внешнюю меру а не саму хаусдорфову $\alpha$-меру? Только для того, чтобы сказать $A\subset\mathbb R$ – произвольное множество вместо того, чтобы сказать $A\subset\mathbb R$ – борелевское множество? Или есть другие причины?

Принципиальных причин нет. Такое соглашение принято в этой книге: то, что обычно называется внешней мерой, там называется мерой. В принципе, одно по другому восстанавливается (с точностью до пополнения). Поскольку я пользуюсь теоремой оттуда, я его тоже придерживаюсь. Вообще, это мне кажется удобным: можно замести под ковёр одновременно вопросы об области определения (все меры определены на всех множествах) и вопросы пополнения. Разумеется, эти вопросы всё равно вылезут (в форме нарушения аддитивности) там, где они по существу, но они много где не по существу.

[Ruslan_Sharipov]

g______d в сообщении #1402830 писал(а):

Принципиальных причин нет.

OK. А как на счёт других мер, в которых задача стала бы менее тривиальной и возможно допускающей положительный ответ?