Нужна ли всеобщая обратимость?

[Qlin]

Кажется, мне удалось доказать, что если у элемента $x$ моноида имеется левый обратный $x_L$, то он же будет и правым обратным:

$x_Lx=e$

$(x_L)_Lx_Lx=(x_L)_Le$

$x=(x_L)_L$

Тогда $xx_L=(x_L)_Lx_L=e$

Но в proofwiki.org эта теорема доказывается только для случая, когда все элементы обратимы (то есть для группы): http://proofwiki.org/wiki/Left_Inverse_ ... ht_Inverse

А разве может быть такой моноид, что элемент $x$ имеет левый обратный $x_L$, но при этом сам $x_L$ слева необратим?

[Padawan]

Может. Рассмотрите моноид $T^T$ всех отображений $T\to T$ некоторого бесконечного множества $T$ в себя. Элементы, имеющие левый обратный - иньекции. Но левый обратный к иньекции не обязан быть иньекцией.

Вы доказали, что если в моноиде каждый элемент имеет левый обратный, то это группа.

[Qlin]

Padawan, да, я тоже об этом подумал. Поэтому вопрос меняется: бывают ли конечные моноиды, где элемент $x$ имеет левый обратный $x_L$, но при этом сам $x_L$ слева необратим?

[Padawan]

Нет, не бывает. Пусть $x_Lx=e$. Рассмотрим отображение нашего моноида $M$ в себя $t\mapsto xt$. Если $xa=xb$, то $x_Lxa=x_Lxb$, $ea=eb$, $a=b$. Значит, это отображение -- иньекция. Так как множество $M$ конечно, то это и сюрьекция. Значит, существует элемент $t\in M$ такой, что $xt=e$. Значит, $x$ имеет также и правый обратный $xx_R=e$. Умножая слева на $x_L$ получим $x_L=x_R$.