Может. Рассмотрите моноид

всех отображений

некоторого бесконечного множества

в себя. Элементы, имеющие левый обратный - иньекции. Но левый обратный к иньекции не обязан быть иньекцией.
Вы доказали, что если в моноиде каждый элемент имеет левый обратный, то это группа.