Вверх и вниз

[Утундрий]

Тело бросили вертикально вверх с некоторой начальной скоростью. На тело действуют: 1) постоянное ускорение свободного падения; 2) сила сопротивления движению, пропорциональная второй степени скорости тела (коэффициент пропорциональности - константа). Спрашивается: каково будет отношение длительностей взлета и падения, если тело упало на землю со скоростью вдвое меньше стартовой?

[amon]

Ха, а действительно все решается (занимался этим, как всегда, за рулем, поэтому до конца не довел). Пусть мы летим вверх в положительном направлении оси $Y.$ Тогда

$$\dot{v}+\alpha v^2=-g.$$

Нагло проинтегрируем это уравнение

$$v(t)-v(0)=-gt-\alpha\int\limits_{0}^{t}v(t)v(t)dt\Rightarrow t=\frac{1}{g}\left(v(0)-\alpha\int\limits_{0}^{h}v(y)dy\right)$$

($h$ - максимальная высота подъема). С другой стороны,

$$\dot{v}=\frac{dv}{dy}\frac{dy}{dt}=\frac{1}{2}\frac{d}{dy}\left(v^2\right)$$

и уравнение на $v(y)$

$$\frac{1}{2}\left(v^2\right)'+\alpha\left(v^2\right)=-g$$

решается. Аналогично для полета вниз.

[Утундрий]

Да, тут все аналитически выражается и задачка скорей на терпение.