2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вверх и вниз
Сообщение29.06.2019, 16:41 
Аватара пользователя
Тело бросили вертикально вверх с некоторой начальной скоростью. На тело действуют: 1) постоянное ускорение свободного падения; 2) сила сопротивления движению, пропорциональная второй степени скорости тела (коэффициент пропорциональности - константа). Спрашивается: каково будет отношение длительностей взлета и падения, если тело упало на землю со скоростью вдвое меньше стартовой?

 
 
 
 Re: Вверх и вниз
Сообщение29.06.2019, 21:49 
Аватара пользователя
Ха, а действительно все решается (занимался этим, как всегда, за рулем, поэтому до конца не довел). Пусть мы летим вверх в положительном направлении оси $Y.$ Тогда
$$\dot{v}+\alpha v^2=-g.$$
Нагло проинтегрируем это уравнение
$$v(t)-v(0)=-gt-\alpha\int\limits_{0}^{t}v(t)v(t)dt\Rightarrow t=\frac{1}{g}\left(v(0)-\alpha\int\limits_{0}^{h}v(y)dy\right)$$($h$ - максимальная высота подъема). С другой стороны,
$$\dot{v}=\frac{dv}{dy}\frac{dy}{dt}=\frac{1}{2}\frac{d}{dy}\left(v^2\right)$$и уравнение на $v(y)$
$$\frac{1}{2}\left(v^2\right)'+\alpha\left(v^2\right)=-g$$решается. Аналогично для полета вниз.

 
 
 
 Re: Вверх и вниз
Сообщение29.06.2019, 22:17 
Аватара пользователя
Да, тут все аналитически выражается и задачка скорей на терпение.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group