Правильность выводов по теме линейной комбинации векторов

[eanmos]

Читаю лекции Гельфанда по линейной алгебре. Цитата из лекции:

Цитата:

Таким образом, если векторы x, y, z, \ldots, v линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. Мы предоставляем читателю проверить, что верно и обратное, т. е., что векторы, один из которых есть линейная комбинация остальных, линейно зависимы.

Не могли бы вы проверить мою проверку (см. ниже) последнего утверждения?

Проверка. Пусть $L$ — некоторое линейное пространство. В $L$ заданы множество векторов $V$ и множество скаляров $A$. Пусть также вектор $v_0 \in V$ есть линейная комбинация некоторых векторов множества $V$:

$$v_0 = a_1 v_1 + a_2 v_2 + \ldots + a_n v_n.$$

Тогда очевидно, что существует неравный нулю скаляр $\theta \in A$ такой, что $\forall a\in A$ существует такой скаляр $a'\in A$ такой, что $a = \frac{a'}{\theta}$:

$$v_0 = \frac{a'_1}{\theta} v_1 + \frac{a'_2}{\theta} v_2 + \ldots + \frac{a'_n}{\theta} v_n.$$ $$\theta v_0 = a'_1 v_1 + a'_2 v_2 + \ldots + a'_n v_n.$$ $$-\theta v_0 + a'_1 v_1 + a'_2 v_2 + \ldots + a'_n v_n = 0.$$

Следовательно, мы получили линейно зависимые векторы $v_0, v_1, v_2, \ldots, v_n$, так как, как минимум, скаляр $\theta$ не равен нулю.

P. S. И еще, правильно ли я понимаю, что термины «линейное пространство», «афинное пространство» и «векторное пространство» эквиваленты? Если так, то какова этимология названий линейного и афинного пространств (с векторным все очевидно)? На счет «линейного» есть догадка, что оно так называется, потому что пространство определяется множеством, полем и двумя линейными операциями: сложением и умножением на скаляр. Но, опять же, почему эти операции называются линейными?

[Eule_A]

eanmos в сообщении #1402030 писал(а):

И еще, правильно ли я понимаю, что термины «линейное пространство», «афинное пространство» и «векторное пространство» эквиваленты?

Нет, аффинное пространство - это не то же, что "линейное пространство". Странно, какое определение аффинного пространства натолкнуло на эту мысль?

[eugensk]

eanmos

А почему нельзя сразу написать $(-1) v_0 + a_1 v_1 + a_2 v_2 + \ldots + a_n v_n = 0$ ?
$-1$ уже не равен нулю, чего еще вы хотели добиться?

eanmos в сообщении #1402030 писал(а):

Тогда очевидно, что существует неравный нулю скаляр $\theta \in A$ такой, что $\forall a\in A$ существует такой скаляр $a'\in A$ такой, что $a = \frac{a'}{\theta}$

Вы тут говорите, что найдется такое число, что его можно умножить на любое другое число. Ну да, найдется.

[eanmos]

Eule_A в сообщении #1402031 писал(а):

eanmos в сообщении #1402030 писал(а):

И еще, правильно ли я понимаю, что термины «линейное пространство», «афинное пространство» и «векторное пространство» эквиваленты?

Нет, аффинное пространство - это не то же, что "линейное пространство". Странно, какое определение аффинного пространства натолкнуло на эту мысль?

Ээмм… Ну, в тех же лекциях первый параграф первой главы называется «§1. Линейное (аффинное) $n$-мерное пространство». Вот я и подумал…

[Eule_A]

eanmos
Есть классическая книга М. Постникова "Лекции по геометрии". Посмотрите в первом же томе определения линейного и аффинного пространств - и сравните. (В эту книгу в любом случае полезно заглянуть.)

[eanmos]

Eule_A в сообщении #1402034 писал(а):

eanmos
Есть классическая книга М. Постникова "Лекции по геометрии". Посмотрите в первом же томе определения линейного и аффинного пространств - и сравните. (В эту книгу в любом случае полезно заглянуть.)

Спасибо, заглянул. Вроде, понял разницу. Не знаете, почему в лекциях Гельфанда линейное пространство называют аффинным? Или я неправильно трактую заголовок «§1. Линейное (аффинное) $n$-мерное пространство»?

Да, и не подскажите, какие из этих двух лекций читать первыми? Верна ли моя догадка об этимологии «линейного пространства»?

-- 28.06.2019, 15:38 --

eugensk в сообщении #1402032 писал(а):

eanmos

А почему нельзя сразу написать $(-1) v_0 + a_1 v_1 + a_2 v_2 + \ldots + a_n v_n = 0$ ?
$-1$ уже не равен нулю, чего еще вы хотели добиться?

Да, что-то я намудрил. Благодарю за ответ

[Eule_A]

eanmos в сообщении #1402039 писал(а):

Да, и не подскажите, какие из этих двух лекций читать первыми?

Это пусть математики советуют Хотя я бы, пожалуй, за основное чтение взял книгу Постникова - если выбирать из этих двух книг.

eanmos в сообщении #1402039 писал(а):

Верна ли моя догадка об этимологии «линейного пространства»?

В общем-то, да. А векторное же оно, потому что сама конструкция линейного пространства сделана по образу и подобию множества векторов со сложением и умножением на число.

eanmos в сообщении #1402039 писал(а):

Не знаете, почему в лекциях Гельфанда линейное пространство называют аффинным?

А это уже мне нужно в книгу заглянуть, а делать мне это сейчас неудобно. Так что кто-нибудь ещё скажет...

[eugensk]

eanmos в сообщении #1402039 писал(а):

Не знаете, почему в лекциях Гельфанда линейное пространство называют аффинным?

Наверное потому, что линейное пространство всегда афинное, где точки это векторы, паре точек соответствует их разность.
Так что, если автору нигде не требуются точки отличные от векторов, он вправе эти понятия отождествить. Плюс традиция, которая с тех пор могла измениться: первое издание лекций это 1948 год.

[Qlin]

Eule_A в сообщении #1402041 писал(а):

В общем-то, да. А векторное же оно, потому что сама конструкция линейного пространства сделана по образу и подобию множества векторов со сложением и умножением на число.

Что вы имеете в виду?

eanmos в сообщении #1402030 писал(а):

двумя линейными операциями: сложением и умножением на скаляр. Но, опять же, почему эти операции называются линейными?

Присоединяюсь к вопросу. Тоже интересно, почему в ваших источниках (кстати, каких именно?) эти операции называются линейными.

[arseniiv]

eanmos в сообщении #1402033 писал(а):

Ну, в тех же лекциях первый параграф первой главы называется «§1. Линейное (аффинное) $n$-мерное пространство».

И внутри они явно отождествляются? Или аффинное определяется отдельно мелкими буквами? Такое тоже могло бы быть.

Qlin в сообщении #1402107 писал(а):

Присоединяюсь к вопросу. Тоже интересно, почему в ваших источниках (кстати, каких именно?) эти операции называются линейными.

Потому что они операции и потому что они (UPD: кроме сложения) линейные [отображения]. Правда, с умножением на скаляр можно смотреть по-разному (но ответ не поменяется): или мы на скалярах тоже наводим линейную структуру, и тогда умножение на скаляр — билинейное отображение $F\times V\to V$, или мы умножаем каждый раз на фиксированный скаляр, и тогда каждое такое отображение просто линейное $V\to V$.

-- Сб июн 29, 2019 05:38:06 --

Ну не, сложение, разумеется, не линейно, это я рано обрадовался. Про него «линейные операции» должно бы быть просто вольностью речи.

[ewert]

Скорее всего, термин "линейные" возник по аналогии с линейной функцией -- $f(x)=ax+b$ (а почему она линейная -- понятно). А вот курица и кто яйцо -- линейное пространство или линейные операции -- судить не берусь.

[eanmos]

Нашел ответ на Math.Stackexchange. Приведу цитату из комментария, оставленного под этим вопросом:

Hans Lundmark писал(а):

…But seriously, once we have come to associate the word "linear" with first degree polynomials, I don't think it's very far-fetched to call the expression $3x+2y$ a "linear" combination of the quantities $x$ and $y$, as opposed to some more arbitrary combination like $x^2 e^y$.