Помогите с началом рассуждения - корни квадратного уравнения

[Overtaker]

У квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ коэффициенты $p$ и $q$ увеличили на единицу. Эту операцию повторили девять раз. Могло ли оказаться, что у каждого из десяти полученных уравнений корни целые числа?

Не понимаю, с какой стороны вообще подступиться к решению, пробовал выразить величину через Виета. В интернете только готовые ответы.

[gris]

Напишите хотя бы попытку начать. Например, что можно сказать о $p$ и $q$? Что это за числа?

[Overtaker]

$p=-(x_1+x_2)$
$q=x_1x_2$
А если их увеличить на 1, то:
$p_1=-(x_1+x_2+1)$
$q_1=x_1x_1-1$
Чтоб корни были хотя-бы не иррациональны:
$D=p^2-4q$=m^2
А чтобы $x_1$ или $x_2$ были целыми, то:
$-p-m$ должно делиться на 2
$-p+m$ должно делиться на 2

[gris]

А у второго, третьего уравнения другие корни? С теоремой Виета хорошая идея. Попробуйте отталкиваться не от коэффициентов, а от корней.
Каждое уравнение даёт пару целых корней. А каждая пара чисел, если рассматривать их как пару корней, даёт уравнение. Например, $(-2,3),(1,-5),(2,-2)...\to (x^2-x-6=0),(x^2+4x-5=0),(x^2-4=0)...$
Свободный член уравнения увеличивается на единичку на каждом шаге. А вот коэффициент при $x$ меняется не так,как нам бы хотелось. Нельзя ли поправить?

Для ответа на вопрос: бывают ли чётные простые числа достаточно привести пример: $2$. Так и для ответа на ваш вопрос: может ли...? достаточно привести пример, либо доказывать, что не может. Стоит всегда пробовать более простой путь.

[Overtaker]

$1-p=x_1+x_2$
$q+1=x_1x_2$
Если представить график, где x - абсцисса, y - ордината, то при увеличении p и q
вся парабола будет смещаться вправо, точка ее пересечения параболы с $y$ ( это точка соотв. $q$) будет смещаться вверх на 1 за шаг, вершина параболы будет смещаться на 0.5 право вправо за один шаг ($(-p:2)$

-- 26.06.2019, 23:11 --

$D=P^2-4q=(p-2)(p+2)q$ - должно делиться на 2, следовательно либо $p$, либо $q$ делиться, либо оба делятся на 2.
Я знаю ответ: $p=2$, $q=1$, но я хочу к нему прийти не методом тыка.

[gris]

Таких ответов много. А почему ровно десять уравнений, а не больше?
Представьте, что это бесконечный процесс. Есть два целых числа $a$ и $b$. Это корни первого уравнения. Как их нужно поменять, оставив целыми, чтобы сумма уменьшилась на $1$, а произведение увеличилось на $1$?

Чего-то я не могу придумать хороших подсказок. Попробуйте считать, что один корень не меняется, а второй уменьшается на единичку. Вдруг тут и правда теория есть

[Pphantom]

Название темы изменено на более содержательное. Overtaker, пожалуйста, не забывайте небольшие формулы и отдельные обозначения также оформлять правильно (выше я поправил это сам).

[TOTAL]

gris в сообщении #1401698 писал(а):

Чего-то я не могу придумать хороших подсказок.

Что-то я могу придумать хорошую подсказку, вот она. Обозначим целые корни одного уравнения $x_1, x_2$, а корни другого уравнения $y_1, y_2$. Свяжите одним равенством $x_1, x_2$ и $y_1, y_2$.

[Overtaker]

TOTAL
$p=-(x_1+x_2) ; p=-(y_1+y_1+1)$
$q=x_1x_2 ; q=y_1y_2-1$
Получаю систему:
$x_1+x_2=y_1+y_2+1$
$x_1x_2=y_1y_2-1$
Приравнял относительно единицы, получаю:
$y_1y_2-x_1x_2=x_1+x_2-y_1-y_2$
Или:
$y_1y_2+y_1+y_2=x_1x_2+x_1+x_2$
Диофантово уравнение с 4 переменными, не знаю как решить.

[TOTAL]

Overtaker в сообщении #1401783 писал(а):

$y_1y_2+y_1+y_2=x_1x_2+x_1+x_2$
Диофантово уравнение с 4 переменными, не знаю как решить.

К обеим частям добавьте единицу. Затем обе части представьте в виде произведения. Затем предложите $x_1$ и $y_1$, для котороых равенство верно.

[Overtaker]

$(y_1+1)(y_2+1)=(x_1+1)(x_2+1)$
Тогда $y_1=x_1$ либо $y_1=x_2$

[TOTAL]

Overtaker в сообщении #1401788 писал(а):

$(y_1+1)(y_2+1)=(x_1+1)(x_2+1)$
Тогда $y_1=x_1$ либо $y_1=x_2$

При каких $y_1=?$ и $x_1=?$ равенство выполняется независимо от $x_2, y_2$?

[Overtaker]

TOTAL
При -1?

[TOTAL]

Overtaker в сообщении #1401794 писал(а):

TOTAL
При -1?

Как выглядит квадратное уравнение, в котором один из корней равен $-1$?

[Overtaker]

$AK^2+BK+C=0$
Пусть $A=1$,
При $K_1=-1$:
$K_2=-B+1$
$K_2=-C$
$B-C=1$
$K^2+(C+1)K+C=0$
Или:
$(K+1)(K+C)=0$
Короче, вижу, C+1=B, дошли.
Спасибо огромное за помощь!