Распространение скачка давления в замкнутой трубе

[Bredun]

Здравствуйте.

Стоит следующая задача:
Рассчитать аналитически и численно распространие скачка давления в замкнутой трубе. Задача одномерная, без трения.
Записывается в виде:
$ \left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial \rho} {\partial t} + \frac {\partial (\rho\upsilon)} {\partial z} = 0,\\ \frac {\partial (\rho\upsilon)} {\partial t} + \frac {\partial p} {\partial z} = 0, \end{array} \right$ - законы сохранения $
Граничные условия (условия непротекания):
$ \frac {\partial p} {\partial z}=0 - \text { при } z=0 \text { и } z=L $
Начальное условие:
$ \upsilon=0 \text { при } t=0 $
$ p=p_1 \text { при } 0<z<l_1, p=p_2 \text { при } l_1<z<L \text { - скачок по давлению.} $
Условие на плотность:
$ \rho=\rho_0exp(c(p-p_0)) $
где c- сжимаемость.

Объединяя систему получим
$ \frac {\partial \rho} {{\partial t}{\partial z}} = \frac {\partial p} {{\partial t}{\partial z}} = 0 $
Это волновое уравнение . Таким образом, скачок давления будет гулять по трубе. Дойдя до стенки, он отразится и пойдет в обратном направлении.
Но что удивительно, решая систему численно, получаем эту волну, но она по какой-то причине расплывается. И через большой промежуток времени вырождается - волны нет, давление в трубе увеличивается по сравнению с начальным на определнную величину.

Где ошибка?

[Парджеттер]

Bredun в сообщении #140145 писал(а):

Но что удивительно, решая систему численно, получаем эту волну, но она по какой-то причине расплывается. И через большой промежуток времени вырождается - волны нет, давление в трубе увеличивается по сравнению с начальным на определнную величину.

Есть такая вещь как вычислительная вязкость. Она возникает при записи разностной схемы. Это фактически эквивалентно появлению реальной вязкости в Вашей задаче. Так что ловить волну в численных решениях - не всегда хороший вариант.

Добавлено спустя 8 минут 50 секунд:

Что-то у Вас уравнения какие-то странные...

[Someone]

Bredun писал(а):

$ \frac {\partial \rho} {{\partial t}{\partial z}} = \frac {\partial p} {{\partial t}{\partial z}} = 0 $

Какие-то странные производные. Может быть, должно быть так: $\frac{\partial^2\rho}{\partial t\partial z}=\frac{\partial^2p}{\partial t\partial z}=0$?

[Eugeen1948]

Bredun писал(а):

Здравствуйте.

Стоит следующая задача:
Рассчитать аналитически и численно распространие скачка давления в замкнутой трубе. Задача одномерная, без трения.
Это волновое уравнение . Таким образом, скачок давления будет гулять по трубе. Дойдя до стенки, он отразится и пойдет в обратном направлении.
Но что удивительно, решая систему численно, получаем эту волну, но она по какой-то причине расплывается. И через большой промежуток времени вырождается - волны нет, давление в трубе увеличивается по сравнению с начальным на определнную величину.
Где ошибка?

Аналитически подобные задачи обосновал и решал знаменитый русский ученый Н.Е. Жуковский.
Заметьте, что скачек отражается от непроницаемой стенки с двойной амплитудой (см.Жуковский Н.Е. О гидравлическом ударе в водопроводных трубах.)

Конечно для Вашей задачи лучше всего использовать метод характеристик для отслеживания скачка. Очень важно в численной схеме (кстати Вы ее не приводите) правильно аппроксимировать граничные условия.
Ваш случай я реализовывал в 1972 г. на компьютере методом Л. Бержерона (см.Бержерон Л. От гидравлического удара в трубах до разряда в электрической сети. (пер. с франц.) М., Машгиз 1962.) который не дает никакого "размазывания" скачков.

.

[Zai]

Bredun писал(а):

Граничные условия (условия непротекания):
$ \frac {\partial p} {\partial z}=0 - \text { при } z=0 \text { и } z=L $

Ваши граничные условия неполные.
Граничные условия должны содержать явно выражения:
$ v(0,t)=0 \text { и } v(L,t)=0 $

Волновое уравнение у Вас записано неверно. Название решаемой Вами задачи до отражения возмущений от стенок - распад разрыва. У задачи о распаде разрыва есть аналитическое решение. Уравнение состояние у Вас удивительное - почему не адиабата ?

[Парджеттер]

Eugeen1948 в сообщении #140171 писал(а):

Заметьте, что скачек

Клон или тотальная безграмотность в наших рядах?

[Eugeen1948]

Парджеттер писал(а):

Eugeen1948 в сообщении #140171 писал(а):

Заметьте, что скачек

Клон или тотальная безграмотность в наших рядах?

Могу бесплатно передать в аренду микроскоп для поиска соринок в глазах оппонентов!
Пилораму для бревен мне уже для Вас не осилить!

[Bredun]

По порядку.

Парджеттер писал(а):

Есть такая вещь как вычислительная вязкость. Она возникает при записи разностной схемы. Это фактически эквивалентно появлению реальной вязкости в Вашей задаче. Так что ловить волну в численных решениях - не всегда хороший вариант.

Численное решение волнового уравнения с той же численной схемой и решателем дает также гуляющую по трубе незатухающую волну. Предположительно, проблема в переходе от системы уравнений к волновому уравнению - пропущены и по незнанию пропущены необходимые условия такого перехода.

Парджеттер писал(а):

Что-то у Вас уравнения какие-то странные.

Стандартные уравнения: первое - уравнение неразрывности (закон сохранения массы), второе - закон сохранения импульса.

Someone писал(а):

Какие-то странные производные.

Вы правы. В знаменателе должен стоять квадрат диффиренциала. Как-то проглядел...

Eugeen1948 писал(а):

см.Жуковский Н.Е. О гидравлическом ударе в водопроводных трубах.

Не могли бы выложить указанные Вами труды Жуковского? А то у меня только "Жуковский Н.Е. Собрание сочинений. Том 2" К сожалению, по гидроудару нет...

Eugeen1948 писал(а):

Конечно для Вашей задачи лучше всего использовать метод характеристик для отслеживания скачка. Очень важно в численной схеме (кстати Вы ее не приводите) правильно аппроксимировать граничные условия.

Численная схема - полностью неявная, трехточечный шаблон, с определение свойств по схеме "upstream".

Eugeen1948 писал(а):

Ваш случай я реализовывал в 1972 г. на компьютере методом Л. Бержерона (см.Бержерон Л. От гидравлического удара в трубах до разряда в электрической сети. (пер. с франц.) М., Машгиз 1962.) который не дает никакого "размазывания" скачков.

А можно побольше информации?

Zai писал(а):

Ваши граничные условия неполные.

Указанное Вами условие прилипания используется.

Zai писал(а):

Уравнение состояние у Вас удивительное

Что подразумевается под уравнением состояния? Если условие на плотность, то это номальная зависимость для однофазного флюида при фиксированной сжимаемости.

На данный момент следующие соображения. Переход от системы к одному волновому уравнению неправомерен - не учтены неизвестные мне ограничения на данный переход. Диссипация (рассеивание) энергии гидравлического скачка, скорее всего, связано с наличием сжимаемости. Но это домыслы...
Подозрения на численную схему снимаются тем фактом, что решение волнового уравнения дает адекватный ожидаемый результат.

[Парджеттер]

Bredun в сообщении #140353 писал(а):

Стандартные уравнения: первое - уравнение неразрывности (закон сохранения массы), второе - закон сохранения импульса.

Насчет первого - нет вопросов. А вот второе

Bredun писал(а):

$\frac {\partial (\rho\upsilon)} {\partial t} + \frac {\partial p} {\partial z} = 0, \end{array} \right$

весьма примечательное. Я такого уравнения не знаю. Вам бы следовало использовать обычное уравнение Эйлера. А то, что у Вас, к Эйлеру никак не сводится. Если только Вы считаете, что $\rho=const$ (тогда зачем она под дифференциалом?) и $\partial v / \partial x=0$.

p.s. Может быть, конечно, я чего-то не догоняю...

Добавлено спустя 8 минут 37 секунд:

Bredun в сообщении #140353 писал(а):

Если условие на плотность, то это номальная зависимость для однофазного флюида при фиксированной сжимаемости.

Что-то у Вас все "нормальное". Только, вообще говоря, какое-то сильно извращенное. Так никто не делает.

А у Вас что, жидкость (сжимаемая), а не газ?

[Zai]

Bredun писал(а):

Что подразумевается под уравнением состояния? Если условие на плотность, то это номальная зависимость для однофазного флюида при фиксированной сжимаемости.

Какой же Вы простите газовый динамик, если не учитываете адиабатичность сжатия, не говоря уже о перераспределении энергии на ударных волнах из-за вязкости. Почитайте Ландавшица о ударных волнах.

Bredun писал(а):

Подозрения на численную схему снимаются тем фактом, что решение волнового уравнения дает адекватный ожидаемый результат.

Как раз не снимаются а проявляются. Численные схемы отлаживают не только на акустике для малых возмущений. У Вас нелинейное экспоненциальная зависимость плотности от давления, а это всегда большая проблема даже для одномерной газовой динамике как в Эйлеровй так и в Лагранжевой постановке задачи.

[Eugeen1948]

Bredun писал(а):

По порядку.

Eugeen1948 писал(а):

]
см.Жуковский Н.Е. О гидравлическом ударе в водопроводных трубах.

Цитата:

Не могли бы выложить указанные Вами труды Жуковского? А то у меня только "Жуковский Н.Е. Собрание сочинений. Том 2" К сожалению, по гидроудару нет...

Это в первом томе. У меня нет электронного варианта.

Eugeen1948 писал(а):

Конечно для Вашей задачи лучше всего использовать метод характеристик для отслеживания скачка. Очень важно в численной схеме (кстати Вы ее не приводите) правильно аппроксимировать граничные условия.

Цитата:

Численная схема - полностью неявная, трехточечный шаблон, с определение свойств по схеме "upstream".

Вообще зря Вы сводите схему к волновому уравнению. В мировой и отечественной литературе всегда рекомендуются схемы для исходной системы ур-ний. Причем конвективные члены аппроксимируются схемами "против потока" а не центрированными. То хорошо еще, что у Вас неявная схема, а то в явной быстро улетаете в неустойчивость (см. известную к-гу Рихтмайера и Мортона).

Eugeen1948 писал(а):

Ваш случай я реализовывал в 1972 г. на компьютере методом Л. Бержерона (см.Бержерон Л. От гидравлического удара в трубах до разряда в электрической сети. (пер. с франц.) М., Машгиз 1962.) который не дает никакого "размазывания" скачков.

Цитата:

А можно побольше информации?

Подробно в :
Katkovskyi E.A. "Rechnerische Untersuchung der Hydrodinamic des 1. Kreislaufs von KernKraftwerken mit Wasser-Wasser-Leistungs-Reaktoren bei Kuhlmittellecks", "Kernenergi", #5, 1975
или
Катковский Е.А. "Волновые процессы в гидросистемах", Препринт ИАЭ-2491, 1975г.

Полезно для тестирования также:
http://www.politerm.com.ru/articles/waterhammer.htm

[Парджеттер]

Bredun ,кстати, интересное у Вас понятие о граничных условиях. Сначала пишете

Bredun писал(а):

Граничные условия (условия непротекания):
$ \frac {\partial p} {\partial z}=0 - \text { при } z=0 \text { и } z=L $

Хотя это совершенно не условие непротекания.
Затем на фразу Zai

Zai писал(а):

Граничные условия должны содержать явно выражения:
$ v(0,t)=0 \text { и } v(L,t)=0 $

Вы ответили

Bredun в сообщении #140353 писал(а):

Указанное Вами условие прилипания используется.

хотя это никакое не условие прилипания, а как раз условие непротекания.

Прилипания вообще никакого быть не может, потому что у Вас среда - невязкая.

[ae]

Присоединяюсь к выступавшим ранее. При таких граничных условиях ничего другого Вы и не можете получить. Надо скорость занулять на границах, а не градиент давления.

[Eugeen1948]

ae писал(а):

Присоединяюсь к выступавшим ранее. При таких граничных условиях ничего другого Вы и не можете получить. Надо скорость занулять на границах, а не градиент давления.

Есть два уравнения. Есть две переменные - давление и скорость. На каждой границе надо иметь граничное условие для каждой переменной. Bredun, хоть и коряво "обозвал", но правильно поставил эти граничные условия. Теперь очень важно, как Bredun апроксимирует производную по давлению на границах в своей численной схеме.

[ae]

Eugeen1948 писал(а):

Есть два уравнения. Есть две переменные - давление и скорость. На каждой границе надо иметь граничное условие для каждой переменной.

Какая разница сколько переменных, если они взаимозависимы? Два уравнения первого порядка требуют два граничных условия, больше ничего не надо. Мы можем задать их или как условие на давление и скорость на одном конце или как условие на давление на двух концах трубы или как условие на скорость на двух концах трубы. Чтобы получить непроницаемый конец следует положить скорость равной нулю. Полагая равным нулю градиент давления в любой точке, - мы гасим волну, приходящую в эту точку: а нам нужно отражение, а не поглощение, если я правильно понял условие задачи.