Средняя скорость

[AVeslov]

Здравствуйте уважаемые физики. Недавно задался вопросом как посчитать время падения тела массой $m$ на тело массой $M$ , без учёта сопротивления воздуха, но с учетом изменения силы тяжести, при условии $M\gg m$, $v_0=0$.
Мне показалось, что проще всего это сделать через потенциальную энергию.
Ведь:

$$E_{p1}-E_{p2}=E_{\text{Кин}}$$

Или:
$-G\frac{mM}{r}-\left ( -G\frac{mM}{r-h}\right)=\frac{mv^2}{2} ,$, где $r$-расстояние между центрами масс тел, а $h$ - пройденное телом $m$ расстояние от точки "старта".
Тогда величина скорости в точке $r-h$ будет:
$v=\sqrt{2GM\left(\frac{1}{r-h}-\frac{1}{r} \right)}$
Обозначим ось $x$, с началом отсчёта в точке "старта", проходящую через центр масс тела $M$
Oобозначим $h$ как переменную $x$. У нас получилась формула зависимости скорости от пройденного расстояния.

$v(x)=\sqrt{2GM\left(\frac{1}{r-x}-\frac{1}{r} \right)}$
Тогда, согласно теореме о среднем, средняя скорость на участке $[0;S]$ будет:

$$ v(cp)=\frac{\sqrt{2GM}}{S}\int_0^S{\sqrt{\left(\frac{1}{r-x}-\frac{1}{r} \right)}} \ dx$$

Где $S$ - пройденное расстояние от 0 до поверхности тела $M$. Далее, чтобы получить время, нам надо разделить расстояние на среднюю скорость.
А значит искомая формула должна выглядеть так:

$$t=\frac{S}{\frac{\sqrt{2GM}}{S}\int_0^S{\sqrt{\left(\frac{1}{r-x}-\frac{1}{r} \right)}} \ dx}$$

Или:

$$t=\frac{S^2}{{\sqrt{2GM}}\int_0^S{\sqrt{\left(\frac{1}{r-x}-\frac{1}{r} \right)}} \ dx}$$

Но вот что-то не работает эта формула(даёт результат меньше, чем если считать без учёта изменения $g$, хотя должна наоборот - больше!). При этом формула скорости $v=\sqrt{2GM\left(\frac{1}{r-h}-\frac{1}{r} \right)}$, работает четко. И даёт результат чуть меньший, чем если считать без изменения $g$. Думаю косяк в определении средней скорости. Помогите, а?

[slavav]

Подозрительно выглядит интеграл скорости по перемещению. Перемещение - интеграл скорости по времени.
Что такое теорема о среднем? Как вы её применяете?

[Ms-dos4]

AVeslov
Вам всё это вообще не нужно. Итак, записали вы первый интеграл (я немного изменю обозначения - ${{r_0}}$ - начальная дистанция, $r$ - дистанция в данный момент, $R$ - радиус "большого" тела)

$$\frac{{{{\dot r}^2}}}{2} = G(M + m)[\frac{1}{r} - \frac{1}{{{r_0}}}]$$

Просто разделяете переменные и интегрируете

$$t = - \frac{1}{{\sqrt {2G(M + m)} }}\int\limits_{{r_0}}^R {\sqrt {\frac{{r{r_0}}}{{{r_0} - r}}} dr} $$

Элементарное интегрирование приведёт вас к результату.

[Munin]

AVeslov в сообщении #1401334 писал(а):

Недавно задался вопросом как посчитать время падения тела массой $m$ на тело массой $M$ , без учёта сопротивления воздуха, но с учетом изменения силы тяжести, при условии $M\gg m$, $v_0=0$.

Это задача Кеплера. Только эллипс, вырожденный в прямую.

Если вы хотите всё сделать руками, то хотя бы знаете, с чем сверять ответ.

[AVeslov]

slavav в сообщении #1401338 писал(а):

Подозрительно выглядит интеграл скорости по перемещению. Перемещение - интеграл скорости по времени.

Меня тоже этот момент смущает.

slavav в сообщении #1401338 писал(а):

Что такое теорема о среднем? Как вы её применяете?

Вот так
Интеграл делю на длину предела интегрирования.

Munin в сообщении #1401344 писал(а):

AVeslov в сообщении #1401334 писал(а):

Недавно задался вопросом как посчитать время падения тела массой $m$ на тело массой $M$ , без учёта сопротивления воздуха, но с учетом изменения силы тяжести, при условии $M\gg m$, $v_0=0$.

Это задача Кеплера. Только эллипс, вырожденный в прямую.

Если вы хотите всё сделать руками, то хотя бы знаете, с чем сверять ответ.

По Кеплеру метод сильно неточен(мы ведь считаем время падения на ЦЕНТР), и на сравнительно небольших дистанциях - нерабочий.
А ответ я сверял с этой формулой
$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$, и этой $v=\sqrt{2gh}$
Считал на высоте $100000$ и $200000$ метров

Ms-dos4 в сообщении #1401341 писал(а):

AVeslov
Вам всё это вообще не нужно. Итак, записали вы первый интеграл (я немного изменю обозначения - ${{r_0}}$ - начальная дистанция, $r$ - дистанция в данный момент, $R$ - радиус "большого" тела)

$$\frac{{{{\dot r}^2}}}{2} = G(M + m)[\frac{1}{r} - \frac{1}{{{r_0}}}]$$

Просто разделяете переменные и интегрируете

$$t = - \frac{1}{{\sqrt {2G(M + m)} }}\int\limits_{{r_0}}^R {\sqrt {\frac{{r{r_0}}}{{{r_0} - r}}} dr} $$

Элементарное интегрирование приведёт вас к результату.

Но ведь, по идее, от массы $m$, результат не должен зависеть!

[Munin]

AVeslov в сообщении #1401367 писал(а):

По Кеплеру метод сильно неточен(мы ведь считаем время падения на ЦЕНТР)

Абсолютно точен.

И уж заведомо, точнее чем то, с чем вы сверяли.

AVeslov в сообщении #1401367 писал(а):

Но ведь, по идее, от массы $m$, результат не должен зависеть!

Для этого надо было произнести, что масса $M$ считается неподвижной. (Кеплер берёт и то и другое.) Просто эти ребята вам легко подсчитают и общий случай.

Чтобы понять их формулы, сделайте в них замену $M+m\to M.$

[DimaM]

AVeslov в сообщении #1401367 писал(а):

Но ведь, по идее, от массы $m$, результат не должен зависеть!

При условии $m\ll M$ и не будет зависеть.
Интегральчик-то посчитали? Полезная замена $r=r_0\sin^2\alpha$.

-- 25.06.2019, 13:46 --

Munin в сообщении #1401377 писал(а):

Абсолютно точен.
И уж заведомо, точнее чем то, с чем вы сверяли.

А во что, кстати, должен превращаться второй закон Кеплера в таком вырожденном случае?

[Munin]

Надо аккуратно взять предел при эксцентриситете $\varepsilon\to 1.$ Честно говоря, я об этом мечтал, но не делал.

Полное решение кеплеровской задачи (из ЛЛ-1, при $\varepsilon=1$), в параметрическом виде от $\xi$:

$$r=a\,(1-\cos\xi),\qquad t=\sqrt{\dfrac{ma^3}{\alpha}}\,\,(\xi-\sin\xi),\qquad\text{где}\quad U=-\alpha/r.$$

[DimaM]

Munin в сообщении #1401412 писал(а):

Полное решение кеплеровской задачи (из ЛЛ-1, при $\varepsilon=1$), в параметрическом виде от $\xi$:

Ну так это как раз из интеграла, приведенного выше, получается. Я-то думал, что есть какой-то более элегантный способ.

[Munin]

Я боюсь, любой более элегантный сведётся к этому.

[slavav]

При движении по радиусу мы должны получить симметричное решение - малая масса колеблется относительно большой.
Из Кеплеровского эллипса предельным переходом такое не получается.
Я понимаю что колебание по радиусу не физично (тела столкнутся), но если применять предельный переход (математичесое понятие), то хочется чтобы математическое решение могло его перенести.

[Munin]

slavav в сообщении #1401455 писал(а):

При движении по радиусу мы должны получить симметричное решение - малая масса колеблется относительно большой.
Из Кеплеровского эллипса предельным переходом такое не получается.

Почему не получается? Просто там неопределённость, которую именно предельным переходом и надо устранить.

[DimaM]

Munin в сообщении #1401464 писал(а):

Почему не получается? Просто там неопределённость, которую именно предельным переходом и надо устранить.

Вообще говоря, вид эффективной потенциальной энергии при нулевом моменте импульса качественно отличается от случая ненулевого. И получается падение на центр.

$$U_{eff}=\frac{L^2}{2mr^2}-\frac{\alpha}{r}.$$

С другой стороны, ТС нужно только часть траектории, на которой принципиальной разницы нет.

[Munin]

DimaM в сообщении #1401584 писал(а):

И получается падение на центр.

Если мы это хотим так воспринимать. Но мы не хотим. (Ведь у нас есть уже решённая задача, чего бы её не использовать.)