Коммутативность сложения натуральных чисел

[Qlin]

Система натуральных чисел задаётся в теоретико-множественном контексте с помощью некоторой аксиоматики, которая включает в себя в том числе такие аксиомы:

ассоциативность сложения
вполне упорядоченность множества натуральных чисел
$ \forall n \in \mathbb{N} \ \ 0+n=n+0=n$
Пусть $M$ такое подмножество $\mathbb{N}$, что $0 \in M$ и $m \in M \implies m + 1 \in M$, тогда $M=\mathbb{N}$.

Нужно доказать коммутативность сложения. Я выбираю в качестве $M$ множество всех элементов $\mathbb{N}$ таких, которые коммутируют при сложении с любыми элементами $\mathbb{N}$. Множество $M$ непусто и по крайней мере содержит ноль. Пусть $m \in M $, тогда по индуктивному предположению $\forall n \in \mathbb{N} \ \ m+n=n+m$
В то же время $(m+1)+n=m+(1+n)=(1+n)+m=1+(n+m)=(n+m)+1=n+(m+1)$

Доказательство выглядит очень просто, при этом даже не требуется, чтобы коммутировала единица. Есть ли в нём ошибка?

[george66]

А предпоследнее равенство как выводите? Там как раз коммутирует единица.

[Qlin]

Нашёл, увидел проблему: $1+(n+m)=(n+m)+1$

Значит нужно доказать перед этим, что всякое число коммутирует с единицей. База индукции есть: $0+1=1+0$. Предполагаем $1+m=m+1$. Тогда:
$(m+1)+1=(1+m)+1=1+(m+1)$

Теперь всё в норме или что-то где-то не так?

[george66]

Похоже на правду. Ассоциативность, кстати, тоже можно доказать по индукции.

[arseniiv]

Выглядит нормально.

-- Вт июн 25, 2019 19:31:24 --

Дубль вышел.