2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Коммутативность сложения натуральных чисел
Сообщение25.06.2019, 15:35 


06/04/18

323
Система натуральных чисел задаётся в теоретико-множественном контексте с помощью некоторой аксиоматики, которая включает в себя в том числе такие аксиомы:

ассоциативность сложения
вполне упорядоченность множества натуральных чисел
$ \forall n \in \mathbb{N} \ \ 0+n=n+0=n$
Пусть $M$ такое подмножество $\mathbb{N}$, что $0 \in M$ и $m \in M \implies m + 1 \in M$, тогда $M=\mathbb{N}$.

Нужно доказать коммутативность сложения. Я выбираю в качестве $M$ множество всех элементов $\mathbb{N}$ таких, которые коммутируют при сложении с любыми элементами $\mathbb{N}$. Множество $M$ непусто и по крайней мере содержит ноль. Пусть $m \in M $, тогда по индуктивному предположению $\forall n \in \mathbb{N} \ \ m+n=n+m$
В то же время $(m+1)+n=m+(1+n)=(1+n)+m=1+(n+m)=(n+m)+1=n+(m+1)$

Доказательство выглядит очень просто, при этом даже не требуется, чтобы коммутировала единица. Есть ли в нём ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность сложения натуральных чисел
Сообщение25.06.2019, 15:44 
Заслуженный участник


31/12/15
965
А предпоследнее равенство как выводите? Там как раз коммутирует единица.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность сложения натуральных чисел
Сообщение25.06.2019, 15:46 


06/04/18

323
Нашёл, увидел проблему: $1+(n+m)=(n+m)+1$

Значит нужно доказать перед этим, что всякое число коммутирует с единицей. База индукции есть: $0+1=1+0$. Предполагаем $1+m=m+1$. Тогда:
$(m+1)+1=(1+m)+1=1+(m+1)$

Теперь всё в норме или что-то где-то не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность сложения натуральных чисел
Сообщение25.06.2019, 17:22 
Заслуженный участник


31/12/15
965
Похоже на правду. Ассоциативность, кстати, тоже можно доказать по индукции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность сложения натуральных чисел
Сообщение25.06.2019, 17:31 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Выглядит нормально.

-- Вт июн 25, 2019 19:31:24 --

Дубль вышел. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group