Сумма алгебраических дробей

[teendespair]

Здравствуйте,
обращаюсь с пустяковой, наверное проблемой, однако на другом форуме мне не смогли дать удовлетворительного объяснения.
Тема - сумма алгебраических дробей, формулы сокращённого умножения.
Тема освоена хорошо, но в изучаемом учебнике утверждается, что следующая сумма:
$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+a^8}+\frac{1}{1+a^{16}}=\frac{32}{1-a^{32}}$ (последовательное сложение дробей).
Судя по всему, предполагается, что $\frac{2}{1-a^2}+\frac{1}{1+a^2}=\frac{4}{1-a^4}$, $\frac{4}{1-a^4}+\frac{1}{1+a^4}=\frac{8}{1-a^8}$ etc.
Но дело в том, что, последовательно складывая эти дроби, я получаю следующий результат:
$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}=\frac{2}{1-a^2}$;
$\frac{2}{1-a^2}+\frac{1}{1+a^2}=\frac{3+a^2}{1-a^4}$
...
Итоговая сумма: $\frac{6+a^{30}+2a^{28}+a^{26}+3a^{24}+a^{22}+2a^{20}+a^{18}+4a^{16}+a^{14}+2a^{12}+a^{10}+3a^8+a^6+2a^4+a^2}{1-a^{32}}$
Причём, подставив в исходную сумму вместо a число 2 (для примера) и поставив 2 в выражение $\frac{32}{1-a^{32}}$ получил совсем разные результаты (вычисления выполнялись на калькуляторе).
В общем, мне посоветовали изучить некое соглашение Эйнштейна, но насколько я понял, оно относится к области тензорного исчисления(которого я не знаю). Всё-таки хотелось бы найти решение этой проблемы на уровне школьной алгебры. Тем более, она приведена именно в учебнике за 7 класс (автор: Колягин).

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы) - не надо набирать их кусочками, одно равенство должно быть одной формулой.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Otta]

teendespair
Ну тут два варианта: или опечатка в задании, или условие приведено не полностью.
Достаточно подставить $a=0$, чтобы убедиться в том, что в таком виде левая часть и правая не равны.

[nnosipov]

teendespair в сообщении #1401319 писал(а):

Тема освоена хорошо, но в изучаемом учебнике утверждается, что следующая сумма:
$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+a^8}+\frac{1}{1+a^{16}}=\frac{32}{1-a^{32}}$ (последовательное сложение дробей).

Мне думается, что здесь не хватает подходящих коэффициентов перед дробями, с ними все прекрасно суммировалось бы и ответ был бы красивым. Иными словами, в условии задачи опечатки.

teendespair в сообщении #1401319 писал(а):

Итоговая сумма: $\frac{6+a^{30}+2a^{28}+a^{26}+3a^{24}+a^{22}+2a^{20}+a^{18}+4a^{16}+a^{14}+2a^{12}+a^{10}+3a^8+a^6+2a^4+a^2}{1-a^{32}}$

Да, так и есть. Трудно представить задачу с таким громоздким ответом в школьном учебнике.

teendespair в сообщении #1401319 писал(а):

В общем, мне посоветовали изучить некое соглашение Эйнштейна

Если применительно к данной задаче, то это какая-то глупость.

[Otta]

Наверное, предполагалось это:

$$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{32}{1-a^{32}}$$

[nnosipov]

Otta
Скорее всего, да. Вполне содержательный пример на телескопическое суммирование.

[teendespair]

Господа, спасибо всем огромное!
А то уже дней пять сомневаюсь в своём рассудке.
Теперь думаю, это точно опечатка, далеко не первая в данном учебнике