Функциональный ряд?

[Charlz_Klug]

Задача:
Вычислить предел $\lim\limits_{n \to +\infty} {f_n(x)}$, если последовательность функций задана в виде:

$$f_n(x) = \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac {nx} {(2n)^2 + (kx)^2}.$$

Мои наивно-интуитивные рассуждения:
Выражение $\dfrac {nx} {(2n)^2 + (kx)^2}$ можно записать таким образом: $\dfrac {nx} {(2n)^2 + (kx)^2} = \dfrac {nx} {n \left ( 4n + \dfrac {(kx)^2} {n} \right )} = \dfrac {x} {4n + \dfrac {(kx)^2} {n}}$. Тогда получается, что

$$f_n(x) = \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac {x} {4n + \dfrac {(kx)^2} {n}}.$$

Дальше: выражение $\dfrac {(kx)^2} {n}$ стремится к нулю при $n \to \infty$. Тогда при $n \to \infty$: $f_n(x) = \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac {x} {4n}$. Поскольку суммируется бесконечно много раз, то получаем $f_n(x) = n \dfrac {x} {4n} = \dfrac {x} {4}$ при $n \to \infty$.

Ответ: $\lim\limits_{n \to +\infty} {f_n(x)} = \dfrac {x} {4}$.
Скорее всего, я заблуждаюсь.

Это был первый вопрос. И второй вопрос: на какую тему эта задача? На тему функциональных рядов?

[Otta]

Интегральная сумма.

[ewert]

Charlz_Klug в сообщении #1401248 писал(а):

выражение $\dfrac {(kx)^2} {n}$ стремится к нулю при $n \to \infty$. Тогда при $n \to \infty$: $f_n(x) = \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac {x} {4n}$.

Нет, конечно. Та дробь к нулю-то стремится, но только при не слишком больших $k$.

Charlz_Klug в сообщении #1401248 писал(а):

на какую тему эта задача? На тему функциональных рядов?

На тему "интегральные суммы" плюс "несобственные интегралы".

[thething]

ewert
А почему "несобственные"? По-моему, обычный интеграл по отрезку, дающий арктангенс.

[ewert]

Не обратил внимания на верхний предел суммирования. Да, по обычному отрезку.

Впрочем, и по бесконечному промежутку доказательство было бы не сложнее, даже чуть короче.