Угловая скорость рамки в магнитном поле и магнитная индукция

[chislo_avogadro]

Alex-Yu в сообщении #1400794 писал(а):

ЭДС индукции сдвинута по фазе на 90 градусов относительно напряжения батарейки, превращенного коллектором в переменное (если взять только первую гармонику). Косинусом синус никак не скомпенсировать, никогда.

Можете пояснить эту ситуацию? Нельзя ли её представить так - имеется два источника питания, один выдаёт $U\sin\phi$, другой - $U\cos\phi$, они соединены.
В каком направлении, в среднем, течёт в этом случае энергия?
При $r = 0$ такая ситуация вообще невозможна. Понять эту конструкцию можно только, если ЭДС синфазна (в отсутствие потерь) с напряжением источника.

[AnatolyBa]

Alex-Yu в сообщении #1400810 писал(а):

P.S. Реальные двигаетели в разнос, естественно, не идут. Так как в них есть омическое сопротивление.

Последовательного возбуждения - еще как идут. Поэтому их и ставят только на транспорте, где холостого хода нет.
А в лабораториях - ходят страшные легенды.
Впрочем, прошу прощения. К данной теме это отношения не имеет

[oleg_2]

Alex-Yu в сообщении #1400792 писал(а):

А вот и нет!!! При отсутствии омического сопротивления такого не будет. Вот при наличии последнего, причем когда оно много больше индуктивного сопротивления, так будет.

Про сопротивление потерь, кажется, начинает доходить, но без слов "много больше". Посмотрим на мою Задачу 2 из сообщения https://dxdy.ru/post1400740.html#p1400740 (про поступательное движение рамки). Посмотрим на график $i(v)$ вблизи синхронной скорости $v_0$ (Рис. а) - где грань между разрядкой и зарядкой батарейки? Какая-то она размытая, некрасиво. На графике не скачок тока, это график установившегося режима, но грань между этими режимами размыта. А с сопротивлением хорошо (Рис. б).


Я двигатель понимаю так, как на рис. ниже. $\omega t$ отсчитываю с момента коммутации и ЭДС-индукции синфазна с меандром. Т. е. начало меандра и синусоиды совпадают в момент времени $t=0$, рамка при этом поперёк поля.


Пусть нагрузка двигателя велика, а $\omega$ мала настолько, что ЭДС индукции можно пренебречь (пуск с тяжёлым маховиком). В рамке без потерь ($r=0$) получится пила тока (Рис. а, ниже), в момент коммутации не должно быть разрыва $i(t)$. Нет потребления энергии от батарейки. Но если поставить сопротивление $r>0$ (Рис. б), то хорошо.


Неужели это правда? Люди стремятся снизить потери, а вон оно как. И почему-то о законах коммутации - замыкание ёмкости, разрыв индуктивности - пишут в учебниках, а об идеальной рамке - нет.

[amon]

Alex-Yu в сообщении #1400683 писал(а):

Но почему так уравнение писать нельзя...

Да вроде можно, и все нормально получается.

$$ \begin{align*} J\ddot{\alpha}&=IB\cos\alpha\\ L\dot{I}&=\mathcal{E}_0\operatorname{sign}(\cos\alpha)-SB\dot{\alpha}\cos\alpha \end{align*} $$

Здесь $\alpha$ - угол поворота рамки, $J$ - ее момент инерции, остальное, вроде и так ясно. Если заменить $\operatorname{sign}(\cos\alpha)$ на $\cos\alpha$ (синхронный двигатель с подстройкой частоты), то вообще все просто. Постоянная скорость вращения означает, что $\ddot{\alpha}=0\Rightarrow I=0\Rightarrow \mathcal{E}_0=SB\omega.$ Ток не течет, двигатель крутится. Для меандра в первом приближении надо, что бы средний за период ток равнялся нулю - и все дела. Если оценивать как оно разгоняется, то надо усредняться по быстрым переменным и считать эффективный крутящий момент. Может я опять не понял глубины проблемы ...

[wrest]

Alex-Yu в сообщении #1400794 писал(а):

А в том, что ЭДС индукции сдвинута по фазе на 90 градусов относительно напряжения батарейки,

Вы же утверждаете, что частота вращения рамки с нулевыми омическими и механическими потерями, подключенной к источнику постоянного напряжения через коллектор, находящейся в постоянном магнитном поле, будет неограниченно расти, я правильно вас понял? Что тогда вы называете "фазой"?

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1400909 писал(а):

Постоянная скорость вращения означает, что $\ddot{\alpha}=0\Rightarrow I=0\Rightarrow \mathcal{E}_0=SB\omega.$

Не означает. Начнем с того, что равенство $ \mathcal{E}_0=SB\omega $ просто невозможно. Не может прямоугольник равняться синусу!!!

Да, еще. Я везде рассматривал случай очень большого момента инерции, чтобы $\omega$ практически не "дрожала". При этом писать дифур на угол нет нужды.

А изначально записанное уравнение правильное. Просто мне показалось, что оно дает физически абсурдный результат. Но после некоторого размышления я понял, что никакого физического абсурда в этом результате нет.

Выше oleg_2, похоже, все понял. А если пока еще и не все, то уже скоро все поймет. Дальше вопросы к нему, я устал.

P.S. И все же это весьма идеализированный случай. В реальном моторчике с сердечником индуктивность не будет постоянной, все усложнится. Но просто рамка в фиксированном внешнем поле тоже возможна, и вполне реально возможна. Для нее уравнение адекватно.

Впрочем, я тут еще подумал... Может и в реальном моторчике индуктивность быть постоянной, но при частном варианте конструкции. Если статор, создающий внешнее поле -- это постоянный магнит из очень-очень магнитожесткого материала. Скажем, из бариевого феррита. Тогда индуктивность ротора практически не будет зависеть от его положения относительно статора (статор намагниченность почти не меняет, очень уж магнитожесткий).

-- Вс июн 23, 2019 13:16:29 --

oleg_2 в сообщении #1400899 писал(а):

Неужели это правда?

Правда, правда. Простейший моторчик оказался нетривальной штукой. Но вполне поддающейся анализу. Посмотрите еще эффекты ЭДС индукции и что будет, если щетки повернуть. Поверните щетки, учтите вторую часть тока и потребляемая мощность появится без сопротивления. Система линейная, добавить ЭДС не проблема: просто добавится еще один ток (ток в рамке будет суммой двух составляющих), мощность которого можно отдельно посчитать.

Еще поучительно найти момент силы, действующей на рамку и усреднить этот момент, найти его среднее за период. Посмотреть, как меняется это среднее в зависимости от положения щеток. Собственно, при наличии сопротивления так и надо делать. Поскольку в таком случае (если есть потери) так запросто приравнять потребляемую мощность мощности на валу нельзя. При отсутствии потерь вычисление момента силы можно не делать, можно обойтись средней потребляемой мощностью. Хотя полезно все равно сделать. Чтобы лучше понимать, что и как там происходит.

-- Вс июн 23, 2019 13:21:40 --

oleg_2 в сообщении #1400899 писал(а):

ЭДС-индукции синфазна с меандром

Вот-вот. При этом получающийся за счет этой ЭДС ток в индуктивности с ним не синфазен (если нет сопротивления). Если нет сопротивления, то надо щетки повернуть на 90 градусов.

-- Вс июн 23, 2019 13:43:21 --

oleg_2 в сообщении #1400899 писал(а):

На графике не скачок тока, это график установившегося режима, но грань между этими режимами размыта

Первый график неверен. Никаких наклонных "хвостов" не будет, будет просто вертикальная линия. Возьмите второй график и мысленно уменьшайте сопротивление. Что будет?

[chislo_avogadro]

Alex-Yu в сообщении #1400926 писал(а):

Выше oleg_2, похоже, все понял. А если пока еще и не все, то уже скоро все поймет. Дальше вопросы к нему, я устал.

Ну, oleg_2, отдувайтесь :)

oleg_2 в сообщении #1400899 писал(а):

Пусть нагрузка двигателя велика, а $\omega$ мала настолько, что ЭДС индукции можно пренебречь (пуск с тяжёлым маховиком). В рамке без потерь ($r=0$) получится пила тока (Рис. а, ниже), в момент коммутации не должно быть разрыва $i(t)$. Нет потребления энергии от батарейки. Но если поставить сопротивление $r>0$ (Рис. б), то хорошо.

Вопрос - почему у вас на рисунке аккуратная пила? Почему не, как минимум, трапеция, а то и меандр тока? Это зависит от индуктивности рамки, и если это рамка с парой витков, то она мала.

Возьмём режим, когда $\omega$ близка к "равновесному" значению - т.е. такому, когда - предположительно - угловая скорость перестаёт расти. При очень малой индуктивности и нулевом сопротивлении в течение $\mathcal {|E|} < U$ источник производит работу над рамкой, и это не зависит от $\omega$ - такой участок, при синусоидальной $\mathcal {E}$, всегда найдётся.

В противном случае, $\mathcal {|E|} > U$, - наоборот. Если предотвратить обратную передачу энергии от рамки к источнику, то разгон, действительно, будет бесконечным. Это как эффект качелей - сила прилагается не на всём периоде, а в определённое время-место. Но если не предотвращать - должен ведь быть установившийся режим?

[amon]

Alex-Yu в сообщении #1400926 писал(а):

Не может прямоугольник равняться синусу!!!

Я сказал, что для простоты, что бы не возиться с меандрами, будем считать, что на ротор подается синусоидальное напряжение в нужной фазе. Принципиально это ничего не изменит, а считать проще. Тогда Ваше уравнение будет

$$ L\dot{I}&=(\mathcal{E}_0-SB\dot{\alpha})\cos\alpha $$

Но, таки - да, Вы правы, так моторчик в первом приближении не раскрутится. Надо сдвинуть фазу питающего напряжения:

$$ L\dot{I}&=\mathcal{E}_0\sin\alpha-SB\dot{\alpha}\cos\alpha $$

В этом случае в уравнении для $\dot{\omega}$ момент от самоиндукции усреднится в ноль, и получится что-то вроде

$$\frac{d}{dt}(\omega^2)=\frac{\mathcal{E}_0}{J}$$

(с точностью до коэффициента), то есть, моторчик действительно раскрутится до бесконечности. Для конечного сопротивления обмотки должен быть оптимальный сдвиг фазы питающего напряжения.

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1401011 писал(а):

Я сказал, что для простоты, что бы не возиться с меандрами,

Ну ладно, хотя и с меандром все просто. Дифур уж очень примитивный: ответ --- сумма двух интегралов от меандра и синусоиды. Интеграл от меандра банальный треугольник (см картинки, что oleg-2 привел), от синусоиды тоже банально.

В общем забавная штучка, несколько неожиданная. На первый взгляд кажется, что действительно должен раскрутиться до скорости, когда ЭДС индукции уравновесит внешнее напряжение. Но оказывается, что это совсем даже и не так! Точнее так, когда ток ограничен активным сопротивлением, и совсем не так, когда он ограничен индуктивностью. В реальности, конечно, есть и то, и другое. Отсюда, кстати, следует, что, учитывая, что есть и $L$ и $r$, было бы полезно делать авторегулирование положения щеток в зависимости от скорости вращения. Изобретение Впрочем, только идея, до реального изобретения тут основательно повозиться надо. Чем мне заниматься как-то ни к чему.

[amon]

Alex-Yu в сообщении #1401015 писал(а):

В общем забавная штучка, несколько неожиданная.

Еще какая неожиданная. Соврали мы. Не крутится такой моторчик хоть с синусом

s = NDSolve[{a''[t] == 0.01 i[t] Cos[a[t]],    i'[t] == 5 Sin[a[t]] - a'[t] Cos[a[t]], a[0] == 0, a'[0] == 0.1, i[0] == 1}, {a, i}, {t, 0, 2000}]
Plot[Evaluate[{a'[t]} /. s], {t, 0, 200}, PlotStyle -> Automatic]

Вложение:

motor1.png [ 18.48 Кб | Просмотров: 2116 ]

хоть с меандром

s6 = NDSolve[{a''[t] == 0.01 i[t] Cos[a[t]], i'[t] == 5 RealSign[Sin[a[t]]] - a'[t] Cos[a[t]], a[0] == 0,a'[0] == 0.1, i[0] == 1}, {a, i}, {t, 0, 2000}]
Plot[Evaluate[{a'[t]} /. s6], {t, 0, 200}, PlotStyle -> Automatic]

Вложение:

motor2.png [ 18.89 Кб | Просмотров: 2116 ]

А если активное сопротивление добавить - все ОК

s2 = NDSolve[{a''[t] == 0.01 i[t] Cos[a[t]], i'[t] + i[t] == 5 Cos[a[t]] - a'[t] Cos[a[t]],a[0] == 0,  a'[0] == 0.001, i[0] == 1}, {a, i}, {t, 0, 2000}]
Plot[Evaluate[{a'[t]} /. s2], {t, 0, 2000}, PlotStyle -> Automatic]

Вложение:

motor3.png [ 5.12 Кб | Просмотров: 2116 ]

(На картинках зависимость угловой скорости от времени)

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1401257 писал(а):

Не крутится такой моторчик хоть с синусом

Крутится, крутится. Ищите ошибку. Если бы не крутился, то ток ушел бы постепенно на бесконечность (уж это и совсем очевидно, постоянное напряжение на индуктивности). Может подтолкнуть надо, может фаза наврана. Может инерцию поболее надо. Чего он у вас дергается туда-сюда... Ищите.

[amon]

Alex-Yu в сообщении #1401261 писал(а):

Если бы не крутился, то ток ушел бы постепенно на бесконечность

Моторчик колеблется туда-сюда, так что с током все ОК.

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1401264 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #1401261 писал(а):

Если бы не крутился, то ток ушел бы постепенно на бесконечность

Моторчик колеблется туда-сюда, так что с током все ОК.

Я вижу что колеблется. Только с чего бы это вдруг он колебался. Ошибка. Может знак не то где-нибудь, может щетки не так, может начальный толкчок не в ту сторону, может этот толчок слишком слабый... В ваших закорючках "код" я ничего не понимаю, да и не хочу понимать. Ваш код, вот вы в нем ошибку и ищите.

Возможно (?) такой колебательный режим есть, но вращательный тоже есть. Не может не быть. Подвигать параметры, то-се.... Не мне вас учить.

Для начала я бы выкинул членоид a'[t] Cos[a[t]] и посмотрел, что будет.

[amon]

Alex-Yu в сообщении #1401266 писал(а):

В ваших закорючках "код" я ничего не понимаю

Решается система уравнений

$$ \begin{align*} a''(t) &= 0.01 i(t) \cos(a(t))\\ i'(t)&= 5 \sin(a(t)) - a'(t) \cos(a(t))\\ a(0)&=0\\ a'(0)&=0.1\\ i(0)&=1 \end{align*} $$

Вместо $\sin(a(t))$ во втором случае написан $\operatorname{sign}(\sin a(t)).$ Естественно, я поигрался с начальными условиями и коэффициентами. Принципиально ничего не меняется. В последнем случае в уравнение для тока дописан диссипативный член (сопротивление):

$$i'(t)+i(t)= 5 \cos(a(t)) - a'(t) \cos(a(t))$$

и все закрутилось.

[Alex-Yu]

А если диссипативный член маленький-маленький?

И еще я бы попробовал выключить ЭДС индукции а потом ее медленно включать. Как бы то ни было, надо же как-то понять, что происходит. Выглядит все странно. Фазу еще подвигать.


$i(0)=1$ тоже очень и очень странно. Естественно $i(0)=0$.