Виленкин. Лестница

[GlobalMiwka]

Здравствуйте!

Строится лестница из точки $A$ до точки $B$. Высота точки $B$ 1,5 м, расстояние от точки $A$ до точки $C$ основания точки $B$ 4,5м. Высота ступеньки 30см и ширина 50см. Сколькими способами можно построить лестницу?

Далее говорится, что так как 4,5:0,3=9, то имеется 10 мест, где можно устроить лестницу.

Почему 10, как так получается?

[Gagarin1968]

Эта задача уже обсуждалась на форуме. Вот здесь.

[GlobalMiwka]

Я честно, что-то все равно не понял.

Можно я приведу свое решение.

Согласно условию у нас пять уровней $(0.3\cdot 5 = 1.5)$

1. Скажем у нас пять ячеек соответствующих 5 уровням. 1-я ячейка -1 уровень, 2-я - 2 уровень, ..., 5-я - 5 уровень.
2. у нас 9 интервалов, т.е. $\left\{1,2,3,..,9\right\}$ куда можно положить ступеньку $0.5\cdot 9 = 4.5$
3. возьмем размещение без повторения 9 интервалов, т.е. чисел от 1 до 9 по 5 ячейкам уровней, что равно $A^5_9$
4. так как размещение без повторения означает 5 разных чисел, а числа линейно упорядочены, то на $5!$ перестановок приходится одна линейная упорядоченность чисел.
5. теперь рассмотрим линейно упорядоченные числа по ячейка $\left\{2, 4, 6, 7, 8\right\}$. Интервал 2 в ячейке 1-ой, 4 - в 2-ой, 6 - в 3-ей, 7 - в 4-ой и 8 - в 5-ой ячейке.
6. интервал 2 уровня 1-го и все числа меньше него, т.е интервал 1 тоже 1-го уровня, так как в ячейке первой; ступенька на интервале 4 - уровая 2-го и все интервалы до интервала 2, т.е интервал 3 - 2-го уровня и так далее, а интервал 8 на 5 уровне и все интервалы после него т.е. интервал 9 тоже 5 уровня.
7. у меня получается $\dfrac{A^5_9}{5!}=C^5_9=\dfrac{9!}{5!4!}=126$

Правильны ли мои рассуждения и правильный ли расчет из рассуждений ?

[slavav]

У нас 9 интервалов, следовательно 10 мест для размещения ступеньки. Ступенька может быть устроена перед первым интервалом, перед вторым, ..., перед девятым и после девятого - всего десять мест.

[GlobalMiwka]

Если перед первым интервалом и после девятого, то 11 получается. И зачем мне класть перед первым интервалом и после девятого. Перед первым интервалом не предлагают класть ступеньку, мне ее в землю что ли зарыть, а если после девятого интервала дверь находится, то мне что положить ступеньку в дом и не закрывать дверь? Зачем мне до и после ложить ступеньки, если в точке $A$ все начинается и точке $B$ все заканчивается?

Я ступеньки кладу на интервалы.

У вас, кстати, на интервал 9 ступенька не кладется что ли ?

[slavav]

Если один интервал, то два места для размещения ступеньки: перед интервалом и после него.
Если два интервала, то три места для размещения ступеньки: перед первым интервалом, между интервалами и после второго интервала.
Если три интервала, то четыре места для размещения ступеньки.
...
Если восемь интервалов, то девять мест для размещения ступеньки.
Если девять интервалов, то десять мест для размещения ступеньки.

Ступенька не кладётся на интервал. Ступенька - это точка такая что справа уровень на единицу выше чем слева. Таких точек десять для девяти интервалов.

[GlobalMiwka]

Получилась следующая формула $C^k_n = n-k+1 + \sum\limits_{z=k}^{n-1} C^{k-2}_{z-1}\cdot (n-z)$. Проверял на нескольких сочетаниях результаты совпадают. Думаю рассуждения были верными.

Из этой формулы следует кол-во возможных лестниц $S=1 + \sum\limits_{z=k}^{n-1} C^{k-2}_{z-1}$

[slavav]

Формулу для сочетаний желательно не проверять а доказывать.
Что такое $n$ и $k$ в ваших формулах?

[GlobalMiwka]

$k$ - количество ступеней в высоту, $n$ -кол-во ступеней в длину.

Я дал в самом начале ход рассуждения доказательства, только с той разницей, что не учел кол-во одинаковых лестниц по форме.

[GlobalMiwka]

Как я понял задача эквивалентна условию, что требуется составить сочетания с повторениями $n$ элементов из $k$ типов, чтобы было хотя бы по одному типу из $k$.