dikun писал(а):
Я извиняюсь, но не катит. Недостаточно показать, что

.
Правильнее найти такое

(константу Липшица), что для любого

выполняется двойное неравенство

Поскольку

-- иррационально, то мы можем указать всегда некоторую окрестность решения, в которой модуль косинуса строго меньше единицы. И прокатиться.
Другой вопрос -- доказать что сходится при любом начальном приближении. Тут рассуждение о трех шагах. Пусть

. Первый, что после первой же итерации мы окажемся в отрезке
![$[n-1, n+1]$ $[n-1, n+1]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/7/7478a43d26fa65ed8b3d2ccca9d4bb2582.png)
, и там и останемся навсегда. Второй, что

имеет на этом отрезке производную, строго меньшую по модулю 1 в каждой точке (произведение двух косинусов), и, в силу компактности отрезка, ограниченую по модулю равномерно некоторой константой, строго меньшей единицы. Поэтому последовательности, состоящие только из четных или только из нечетных элементов, сходятся. Третий -- в силу вышеуказанного свойства

-- эти пределы равны.