Векторные равенства, и откуда они возникают?

[Munin]

В стандартной трёхмерной векторной алгебре есть список равенств и соотношений:

https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_algebra_relations#Addition_and_multiplication_of_vectors
(что интересно, в русской Википедии аналогичный список отсутствует).

Интересно разобраться, откуда возникают эти равенства, с точки зрения векторной алгебры $n$-мерных пространств (тензорная и внешняя алгебра), и соответственно, как выглядят их $n$-мерные обобщения.

Если какое-то соотношение является исключительным совпадением для 3-мерного пространства, то тоже интересно понять, почему оно возникает (на глубоком уровне, а не просто расписывая по координатам). Сюда же - обобщения на 7-мерное, $(2^n-1)$-мерное, и другие "исключительные" пространства. Но в целом это менее интересно.

И наконец: полный ли это список? Возникают ли новые соотношения и серии соотношений для $n>3,$ которые не могут быть описаны как обобщения этих перечисленных?
Ниже я везде предполагаю, что пространство снабжено скалярным произведением, а форма объёма единична, то есть $n$-вектор есть скаляр, равный объёму соответствующего параллелепипеда.

0. алгебраические аксиомы пропускаем.

1. Смешанное (тройное скалярное) произведение.

$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a})=\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=\begin{vmatrix}a_x&b_x&c_x\\a_y&b_y&c_y\\a_z&b_z&c_z\end{vmatrix}=\langle\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\rangle$

Понятно, что эта величина есть внешнее произведение векторов

$\mathbf{a}\wedge\mathbf{b}\wedge\mathbf{c},$
и в $n$-мерном пространстве сопоставляется с $n$-кратным внешним произведением

$\mathbf{a}_1\wedge\ldots\wedge\mathbf{a}_n,$
со всеми алгебраическими свойствами этого произведения (линейность по полю, антикоммутативность).

1.1. Векторное произведение.

$\mathbf{b}\times\mathbf{c}=[\mathbf{b\,c}]$

Его можно интерпретировать как такую величину (вектор), скалярное произведение которой с вектором даёт, как в п. 1, смешанное произведение:

$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\stackrel{\mathrm{def}}{=}\langle\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\rangle.$
Тогда векторное произведение является, по сути, внешним произведением двух векторов:

$\mathbf{b}\times\mathbf{c}=\mathop{\star}(\mathbf{b}\wedge\mathbf{c})$
и у него возникают два различных обобщения: можно брать внешнее произведение $(n-1)$ векторов:

$\mathop{\star}(\mathbf{b}_1\wedge\ldots\wedge\mathbf{b}_{n-1})$
- это всегда будет вектор, и такое обобщение называется векторным произведением, или external product; а можно брать произведение всегда только двух векторов:

$\mathbf{b}\wedge\mathbf{c}$     или     $\mathop{\star}(\mathbf{b}\wedge\mathbf{c})$
- это всегда будет бивектор, или после оператора $\star$ - получится $(n-2)$-вектор.

В 1-мерном пространстве: $\langle\mathbf{a}\rangle=\mathbf{a}=a_x,$     $[\,]=\mathop{\star}1=1,$     $\mathbf{a}\wedge\mathbf{b}\equiv 0.$
В 2-мерном пространстве: $\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle=\mathbf{a}\wedge\mathbf{b}=a\,b\,\sin\alpha=a_x b_y-a_y b_x,$     $[\mathbf{a}]=\mathop{\star}\mathbf{a}=i\,\mathbf{a}$ - вектор, повёрнутый относительно $\mathbf{a}$ влево на $\pi/2.$
В 4-мерном пространстве: $\langle\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{d}\rangle=\det(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{d})$ - объём 4-параллелепипеда,     $[\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{d}]=\det(\,(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_4),\,\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{d})$ - объём 3-площадки, умноженный на вектор нормали к этой площадке,     $\mathbf{a}\wedge\mathbf{b}$ - площадь 2-площадки с учётом ориентации в пространстве, имеет 6 компонент.

2. Двойное (тройное) векторное произведение и "бац минус цаб".

$\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-\mathbf{c}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})$

Четверное векторное произведение - простое следствие "бац минус цаб"

$(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times(\mathbf{c}\times\mathbf{d})=\langle\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{d}\rangle\,\mathbf{c}-\langle\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\rangle\,\mathbf{d}=\langle\mathbf{a},\mathbf{c},\mathbf{d}\rangle\,\mathbf{b}-\langle\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf {d}\rangle\,\mathbf{a}$

Тождество Якоби - тоже следствие "бац минус цаб"

$[\mathbf{a}\,[\mathbf{b\,c}]]+[\mathbf{b}\,[\mathbf{c\,a}]]+[\mathbf{c}\,[\mathbf{a\,b}]]=0,$

а вот можно ли вывести "бац минус цаб" из тождества Якоби? Боюсь, что нет, поскольку тождество Якоби выполняется во всех алгебрах Ли, нужны какие-то ещё условия.

Происхождение этой формулы такое:
Скалярное произведение вектора на $k$-вектор есть:

$\mathbf{a}\mathbin{\big \lrcorner}b=\mathop{\star}(\mathbf{a}\wedge\mathop{\star}b),$
откуда

$\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathop{\star}(\mathbf{a}\wedge\mathop{\star}(\mathbf{b}\wedge\mathbf{c}))=\mathbf{a}\mathbin{\big \lrcorner}(\mathbf{b}\wedge\mathbf{c})=$
$=(\mathbf{a}\mathbin{\big\lrcorner}\mathbf{b})\wedge\mathbf{c}-\mathbf{b}\wedge(\mathbf{a}\mathbin{\big \lrcorner}\mathbf{c})=\mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})-\mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}),$
и тут что-то неправильно со знаками.

Обобщение на $n$-мерное пространство с тремя множителями получается такое же.
Обобщение с $(k+1)$ множителями - видимо, что-то вроде

$\mathbf{a}\mathbin{\big \lrcorner}(\mathbf{b}_1\wedge\ldots\wedge\mathbf{b}_k)=(\mathbf{a}\mathbin{\big\lrcorner}\mathbf{b}_1)\wedge\ldots\wedge\mathbf{b}_k-\ldots+(-1)^{k-1}\mathbf{b}_1\wedge\ldots\wedge(\mathbf{a}\mathbin{\big \lrcorner}\mathbf{b}_k).$

3. Формула Бине-Коши для векторных (внешних) произведений.

$(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{d})=(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})(\mathbf{b}\cdot\mathbf{d})-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{d})(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c})$

Обобщение в https://en.wikipedia.org/wiki/Binet-Cauchy_identity выписано довольно простое:

$(\mathbf{a}\wedge\mathbf{b})\cdot(\mathbf{c}\wedge\mathbf{d})=(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})(\mathbf{b}\cdot\mathbf{d})-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{d})(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c})$
Судя по https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Binet_formula , аналогично можно выписывать и скалярные произведения двух $k$-векторов, однако формула будет записываться через детерминант скалярных произведений.

4.

$\langle\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\rangle\,\mathbf{d}=(\mathbf{a}\cdot\mathbf{d})(\mathbf{b}\times\mathbf{c})+(\mathbf{b}\cdot\mathbf{d})(\mathbf{c}\times\mathbf{a})+(\mathbf{c}\cdot\mathbf{d})(\mathbf{a}\times\mathbf{b})$

Вот тут я в полном ступоре, откуда такое берётся, и прошу подсказки.

5. Разложение вектора по базису.

$\mathbf{d}=\dfrac{\langle\mathbf{d},\mathbf{b},\mathbf{c}\rangle}{\langle\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\rangle}\,\mathbf{a}+\dfrac{\langle\mathbf{a},\mathbf{d},\mathbf{c}\rangle}{\langle\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\rangle}\,\mathbf{b}+\dfrac{\langle\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{d}\rangle}{\langle\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\rangle}\,\mathbf{c}.$

Структура этой формулы довольно проста. Если у нас в $n$-мерном пространстве есть смешанное произведение $\langle\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n\rangle\ne 0,$ то очевидно (через объёмы параллелепипедов)

$\mathbf{b}=\dfrac{\langle\mathbf{b},\ldots,\mathbf{a}_n\rangle}{\langle\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n\rangle}\,\mathbf{a}_1+\ldots+\dfrac{\langle\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{b}\rangle}{\langle\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n\rangle}\,\mathbf{a}_n,$
где в каждом слагаемом $\mathbf{b}$ подменяет $\mathbf{a}_k$ в числителе.

Однако интересно, можно ли эту формулу вывести чисто алгебраически? Если всё домножить на знаменатель, то получится формула,
схожая с п. 4, но всё же не такая же. И её непонятно, как выводить.

----------------

В чём мой вопрос? См. выше введение, п. 2, п. 4, п. 5.

[B@R5uk]

А что такое внешнее произведение? В Википедии говориться, что для двух векторов это антисимметричный тензор, но что будет при умножении этого тензора на ещё один вектор или на себя?

Алсо, в пункте 5 так и хочется каким-то образом приплести линейную зависимость векторов. Только не понятно откуда именно такие коэффициенты в линейной комбинации берутся. Или вас больше интересует не доказательство, а логичное "порождение" формулы?

[Munin]

B@R5uk в сообщении #1400404 писал(а):

А что такое внешнее произведение? В Википедии говориться, что для двух векторов это антисимметричный тензор, но что будет при умножении этого тензора на ещё один вектор или на себя?

Будет полностью антисимметричный (по всем индексам) тензор большего ранга. То есть, внешнее произведение - это тензорное произведение, и потом антисимметризация.

Внешнее произведение $k$ векторов называется $k$-вектором (2-вектор ещё называется бивектором). Впрочем, это будет только простой $k$-вектор, а вообще $k$-векторы - это линейное пространство, натянутое на простые. (В 3-мерном пространстве все 2-векторы и 3-векторы простые, но уже в 4-мерном пространстве это не так: бывают 2-векторы, которые есть суммы не менее чем двух простых 2-векторов).

В $n$-мерном пространстве все $k$-векторы при $k>n$ равны нулю. А при $n<k$ (при наличии скалярного произведения) связаны дуальностью Ходжа (оператор $\star$) так, что $k$-вектор дуален $(n-k)$-вектору. Примеры я привёл в первом сообщении post1400399.html#p1400399 в пп. 1 и 1.1.

Произведение $k$-вектора на себя равно нулю. (Не уверен, что это выполняется в поле $\mathrm{char}=2.$)

B@R5uk в сообщении #1400404 писал(а):

Или вас больше интересует не доказательство, а логичное "порождение" формулы?

Скорее всего, доказательство и есть путь к "порождению" и обобщению.

Насчёт линейной комбинации - спасибо за подсказку. Возможно, коэффициенты возникают из соответствующих определителей...

-- 20.06.2019 22:48:35 --

Ещё примеры про дуальность (но ещё с нагрузкой в виде верхних-нижних индексов): post1358428.html#p1358428

[ewert]

5-й пункт называется тупо формулами Крамера и никак не зависит от размерности.

[Munin]

Да уж, не признал так не признал! :-)

Спасибо!

Но в общем, всю тему начать меня сподвиг п. 4.

[arseniiv]

Выглядит хитро, но может быть следствием просто нескольких преобразований, не объединённых каким-то общим духом. Может, тоже через какой-нибудь определитель вывести будет просто? Умножаем какую-то строку определителя $\langle\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c\rangle$ на $\mathbf d$, раскладываем его по ней… (наверно, глупости говорю, тем более что придётся придавать такому странному определителю отдельный смысл).

[Geen]

Munin в сообщении #1400517 писал(а):

Но в общем, всю тему начать меня сподвиг п. 4.

Но, вроде бы, пункт 4 это тоже самое что и пункт 5, только в дуальном базисе?...

[Munin]

Geen в сообщении #1400732 писал(а):

Но, вроде бы, пункт 4 это тоже самое что и пункт 5, только в дуальном базисе?...

Объясните?

Это было бы здорово!

[Geen]

Пункт 4 это

$$\delta^m_l\epsilon_{ijk}=\delta^m_i\epsilon_{ljk}+\delta^m_j\epsilon_{ilk}+\delta^m_k\epsilon_{ijl}$$

(если нигде не напутал)

-- 22.06.2019, 12:44 --

И пункт 5 - то же самое тождество.

[ewert]

4-й пункт можно обосновать чисто геометрическими соображениями (наверное, не самыми идейными, зато очень простыми). Если, например, к вектору $\vec a$ прибавить вектор $\vec b$, умноженный на любое число, то левая часть равенства не изменится, а в правой сохранится последнее слагаемое. Два первых слагаемых справа сами по себе изменятся, но соответствующие прибавки откровенно сократятся, поэтому и всё равенство в целом сохранится. Умножение на число самого вектора $\vec a$ тем более не нарушает равенства. Ввиду равноправия всех векторов тройки равенство сохраняется и при любом линейном их преобразовании. В том числе и при таком, после которого тройка становится ортонормированной, но в последнем случае равенство тривиально.

Остаётся лишь проверить согласованность ориентаций и отдельно оговорить вырожденный случай, но это уже семечки.

[Munin]

Geen
Спасибо!
(Чёрт, из-за жары мозги не работают. Вечером подумаю.)

[ewert]

Теперь как 4-й пункт доказывать в лоб -- очень просто. Предположим, что векторы $\vec a,\;\vec b,\;\vec c$ не компланарны и что вектор $\vec d$ можно представить как линейную комбинацию парных векторных произведений:

$\vec d=\alpha(\vec b\times\vec c)+\beta(\vec c\times\vec a)+\gamma(\vec a\times\vec b).$

Умножая это равенство скалярно на $\vec a$, затем на $\vec b$ и затем на $\vec c$, мгновенно получаем правильные выражения для $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Но тут есть две неприятности. Во-первых, то, что из некомпланарности тройки следует некомпланарность попарных векторных произведений, само по себе нуждается в доказательстве. Во-вторых, компланарный случай придётся рассматривать отдельно. Предыдущий способ доказательства этих недостатков лишён.

[Munin]

ewert
Спасибо, это, кажется, то, что нужно! Систематически обобщается на $n$-мерный случай. И кажется, я начинаю понимать, что имел в виду Geen: под дуальным базисом он подразумевал (видимо) $\mathbf{b}\times\mathbf{c},\mathbf{c}\times\mathbf{a},\mathbf{a}\times\mathbf{b}.$

И у меня попутно ещё вопросик возник, чисто для любителей поупражняться :-)

$\langle\mathbf{b}\times\mathbf{c},\mathbf{c}\times\mathbf{a},\mathbf{a}\times\mathbf{b}\rangle=?$

-- 22.06.2019 16:18:47 --

arseniiv, Geen
А ошибку в знаке в п. 2 найдёте?

Ну и хотелось бы алгебраистов типа vpb услышать, на тему (вдруг) каких-то совсем обобщённых мыслей. Типа "не возникает ли в бо́льших размерностях ещё каких-нибудь систематических серий".

[ewert]

Munin в сообщении #1400818 писал(а):

И кажется, я начинаю понимать, что имел в виду Geen: под дуальным базисом он подразумевал (видимо) $\mathbf{b}\times\mathbf{c},\mathbf{c}\times\mathbf{a},\mathbf{a}\times\mathbf{b}.$

Видимо, он имел в виду то, что обычно называется двойственным базисом. Если задан некоторый базис в исходном пространстве, то двойственные базис в пространстве сопряжённом -- это набор функционалов, каждый из которых принимает единичное значение на "своём" элементе исходного базиса и обнуляет все остальные.

В евклидовом пространстве есть естественный изоморфизм между самим пространством и сопряжённым к нему, при котором каждый функционал задаётся скалярным умножением на некоторый фиксированный вектор. И тогда векторные произведения действительно образуют дуальный базис по отношению к исходной тройке. Правда, с точностью до умножения его на смешанное произведение.

[Geen]

ewert в сообщении #1400819 писал(а):

Видимо, он имел в виду то, что обычно называется двойственным базисом.

Возможно
Я векторную алгебру не очень люблю (и с трудом вспоминаю термины и определения) - мне кажется что тензорная универсальнее