2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Факторпространство
Сообщение14.06.2019, 17:56 


30/04/19
199
Почему $V/V=\{0\}$?
Пусть $W$-подпространство. Тогда $V/W=\{W_v,v \in V\}$. $W_v=\{v+w,w \in W\}$. Но так как $W=V$, то $V/V=\{v,v \in V\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторпространство
Сообщение14.06.2019, 18:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4601
Norma
Ну и если $W=V$, то что из себя будут представлять $W_v$, $v\in V$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторпространство
Сообщение14.06.2019, 18:07 


30/04/19
199
Mikhail_K
Линейное пространство $V$

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторпространство
Сообщение14.06.2019, 18:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Давайте на примерах, рассморим пространство $\mathbb R^3$:

1) Факторизуем его по оси $Ox$ ( подпространство размерности 1). Что имеем в результате и какова его размерность?

2) Факторизуем его по плоскости $xOy$ ( подпространство размерности 2). Что имеем в результате и какова его размерность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторпространство
Сообщение14.06.2019, 18:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4601
Norma
Итак, для любых $v\in V$ объект $W_v$ один и тот же - линейное пространство $V$.
Поэтому $V/V$ состоит из одного элемента - этого самого единственного объекта.
А уж как его обозначать - $V$, $W_v$, $W_0$ или $0$ - неважно.

Заметьте, что этот единственный элемент пространства $V/V$ играет в нём роль нуля (для этого вспомните, как определяются линейные операции в факторпространстве). Поэтому его $0$ и обозначают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторпространство
Сообщение14.06.2019, 18:53 


30/04/19
199
Dan B-Yallay
1)При разных $v \in R^3$ получаем получаем различные прямые, полученные сдвигом оси $Ox$ на вектор $v$
2)При разных $v \in R^3$ получаем получаем различные плоскости, полученные сдвигом плоскости $Oxy$ на вектор $v$
В обоих случаях вроде получается все пространство $R^3$.

-- 14.06.2019, 18:53 --

Mikhail_K
Спасибо, теперь понятно

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторпространство
Сообщение14.06.2019, 19:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Norma в сообщении #1399278 писал(а):
В обоих случаях вроде получается все пространство $R^3$.
Мдя...

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторпространство
Сообщение14.06.2019, 19:06 


30/04/19
199
Dan B-Yallay
Ну если рассмотреть объединение всех прямых, которые получаются, и объединение всех плоскостей, то разве нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторпространство
Сообщение14.06.2019, 19:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4601
Norma в сообщении #1399284 писал(а):
Ну если рассмотреть объединение всех прямых, которые получаются, и объединение всех плоскостей
А при чём тут объединение?
Элементами факторпространства являются сами эти прямые, или сами эти плоскости.
А элементами объединения являются точки, составляющие эти прямые или плоскости.
Факторпространства не имеет ничего общего с этими объединениями.

Вам стоит почитать учебник про факторпространства и их размерности. Объяснять с нуля этот вопрос вряд ли получится. Найдите в учебнике теорему о размерности факторпространства, проработайте доказательство. Будут конкретные вопросы - обращайтесь сюда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторпространство
Сообщение14.06.2019, 19:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Norma
Я спрашиваю про фактор-пространство, а не объединение всех прямых или плоскостей.

-- Пт июн 14, 2019 10:12:01 --

Norma в сообщении #1399278 писал(а):
Спасибо, теперь понятно

Судя по всему, Вам понятно не совсем то, что требуется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторпространство
Сообщение14.06.2019, 19:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4601
Norma
Интуитивно Вы могли бы пока что уловить, что разных прямых, параллельных $Ox$, в трёхмерном пространстве помещается больше, чем разных плоскостей, параллельных $Oxy$. Поэтому первое факторпространство (элементы которого - прямые), наверное, будет более обширное, будет иметь большую размерность, чем второе (элементы которого - плоскости).

А как будет строго и точно - читайте в учебнике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факторпространство
Сообщение14.06.2019, 19:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
+1

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gg322


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group