Факторпространство

[Norma]

Почему $V/V=\{0\}$?
Пусть $W$-подпространство. Тогда $V/W=\{W_v,v \in V\}$. $W_v=\{v+w,w \in W\}$. Но так как $W=V$, то $V/V=\{v,v \in V\}$

[Mikhail_K]

Norma
Ну и если $W=V$, то что из себя будут представлять $W_v$, $v\in V$?

[Norma]

Mikhail_K
Линейное пространство $V$

[Dan B-Yallay]

Давайте на примерах, рассморим пространство $\mathbb R^3$:

1) Факторизуем его по оси $Ox$ ( подпространство размерности 1). Что имеем в результате и какова его размерность?

2) Факторизуем его по плоскости $xOy$ ( подпространство размерности 2). Что имеем в результате и какова его размерность?

[Mikhail_K]

Norma
Итак, для любых $v\in V$ объект $W_v$ один и тот же - линейное пространство $V$.
Поэтому $V/V$ состоит из одного элемента - этого самого единственного объекта.
А уж как его обозначать - $V$, $W_v$, $W_0$ или $0$ - неважно.

Заметьте, что этот единственный элемент пространства $V/V$ играет в нём роль нуля (для этого вспомните, как определяются линейные операции в факторпространстве). Поэтому его $0$ и обозначают.

[Norma]

Dan B-Yallay
1)При разных $v \in R^3$ получаем получаем различные прямые, полученные сдвигом оси $Ox$ на вектор $v$
2)При разных $v \in R^3$ получаем получаем различные плоскости, полученные сдвигом плоскости $Oxy$ на вектор $v$
В обоих случаях вроде получается все пространство $R^3$.

-- 14.06.2019, 18:53 --

Mikhail_K
Спасибо, теперь понятно

[Dan B-Yallay]

Norma в сообщении #1399278 писал(а):

В обоих случаях вроде получается все пространство $R^3$.

Мдя...

[Norma]

Dan B-Yallay
Ну если рассмотреть объединение всех прямых, которые получаются, и объединение всех плоскостей, то разве нет?

[Mikhail_K]

Norma в сообщении #1399284 писал(а):

Ну если рассмотреть объединение всех прямых, которые получаются, и объединение всех плоскостей

А при чём тут объединение?
Элементами факторпространства являются сами эти прямые, или сами эти плоскости.
А элементами объединения являются точки, составляющие эти прямые или плоскости.
Факторпространства не имеет ничего общего с этими объединениями.

Вам стоит почитать учебник про факторпространства и их размерности. Объяснять с нуля этот вопрос вряд ли получится. Найдите в учебнике теорему о размерности факторпространства, проработайте доказательство. Будут конкретные вопросы - обращайтесь сюда.

[Dan B-Yallay]

Norma
Я спрашиваю про фактор-пространство, а не объединение всех прямых или плоскостей.

-- Пт июн 14, 2019 10:12:01 --

Norma в сообщении #1399278 писал(а):

Спасибо, теперь понятно

Судя по всему, Вам понятно не совсем то, что требуется.

[Mikhail_K]

Norma
Интуитивно Вы могли бы пока что уловить, что разных прямых, параллельных $Ox$, в трёхмерном пространстве помещается больше, чем разных плоскостей, параллельных $Oxy$. Поэтому первое факторпространство (элементы которого - прямые), наверное, будет более обширное, будет иметь большую размерность, чем второе (элементы которого - плоскости).

А как будет строго и точно - читайте в учебнике.

[Dan B-Yallay]

+1